Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12 13
Пример 3.15.
ò
+=
+
C
x
x
dx
13
arctg
13
1
13
2
.
В следующем примере применен табличный интеграл (3.14).
Пример 3.16.
ò
+=
-
C
x
x
dx
14
arcsin
14
2
.
В следующих двух примерах воспользуемся формулой (3.16)
таблицы.
Пример 3.17.
ò
+-+=
-
Cxx
x
dx
14ln
14
2
2
.
Пример 3.18.
ò
+++=
+
Cxx
x
dx
14ln
14
2
2
.
В последующих интегралах применим формулу (3.15).
Пример 3.19.
C
x
x
C
x
x
x
dx
+
+
-
=+
+
-
×
=
-
ò
3
3
ln
6
1
3
3
ln
32
1
9
2
.
Пример 3.20.
ò
+
+
-
×
=
-
C
x
x
x
dx
10
10
ln
102
1
10
2
.
4. ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
I. Вынесение постоянного множителя за знак интеграла
Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределённого интеграла, т. е.
ò
ò
a
=
a
dxxfdxxf )()( , (4.1)
где
– число.
Доказательство. Возьмём производную от правой части равенства
(4.1) и вынесем постоянный множитель за знак производной:
ò
ò
¢
a
=
¢
a
))(())(( dxxfdxxf .
Воспользуемся формулой (2.2). Так как
ò
=
¢
)())(( xfdxxf , получим,
что
ò
a
=
¢
a
)())(( xfdxxf ,
т. е. правая часть (4.1) является совокупностью первообразных для
функции
)
(
x
f
a
. Этим теорема 3 доказана.
Приведем примеры применения теоремы 3.
Пример 4.1.
ò ò
+=+==
+
+
CCdxdx
xx
xx
3
ln
3
3
ln
3
9393
2
2
.
Пример 4.2.
C
x
C
x
x
dx
x
dx
+=+×=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
òò
3
2
arctg
6
1
3
2
arctg
3
2
4
1
2
3
4
1
94
2
2
2
.
Проверка:
94
1
49
9
9
1
3
2
9
4
1
1
6
1
3
2
arctg
6
1
222
+
=
+
×=×
+
×=
¢
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
xxx
C
x
.
Пример 4.3.
C
x
x
dx
x
dx
+=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
ò ò
4
3
arcsin
3
1
3
4
3
1
916
2
22
.
Проверка:
22
916
1
4
3
16
9
1
1
3
1
4
3
arcsin
3
1
xx
x
-
=×
-
×=
¢
÷
ø
ö
ç
è
æ
.

Страницы