Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14 15
II. Представление интеграла в виде суммы нескольких
слагаемых
Теорема 4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы
двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций,
т. е.
(
)
ò
ò
ò
±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
. (4.2)
Доказательство. Так же, как при доказательстве теоремы 3, про-
дифференцируем правую часть равенства (4.2). Учитывая, что производ-
ная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных,
получим
ò
ò
ò
ò
¢
±
¢
=
¢
±
))(())(())()(( dxxgdxxfdxxgdxxf .
Так как
ò
=
¢
)())(( xfdxxf и
)())(( xgdxxg =
¢
ò
, получим, чтоо
)()())()(( xgxfdxxgdxxf
±
=
¢
±
ò
ò
.
Таким образом, теорема 4 доказана.
Замечание. Формула (4.2) может быть распространена на любое
количество функций. При вычислении интегралов в правой части (4.2)
возникает несколько произвольных постоянных. Из самого смысла нео-
пределенного интеграла как совокупности первообразных вытекает, что
не нужно выписывать все постоянные, а достаточно ввести одну произ-
вольную постоянную в окончательное выражение.
Приведем примеры совместного применения теорем 3 и 4.
Пример 4.4.
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+-
ò
dx
xx
x
19
27
3
23
3
=
+
+-=
òòò
-
9
1
3
2
73
2
2323
x
dx
dxxdxx
Cxxxx +++++=
-
9
1
ln
3
2
14
5
6
22125
.
Пример 4.5.
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-+
ò
-
dx
xx
x
2
4
2
27
3
2
sin
5
ò ò ò
=
-
-+=
2
2
2
7
2
3
2
16
1
sin
5
x
dx
dx
x
dx
x
C
x
x
x
x
+
+
-
×++-=
-
2
7
2
7
ln
72
2
2
3
2ln
2
ctg5
4
.
Следующие примеры показывают, что часто подынтегральную
функцию приходится сначала преобразовать, подготовив её к примене-
нию теорем 3 и 4.
Пример 4.6.
Cxxx
x
dx
dx
dxdx
xxx
++-=++=
++
òò ò ò
-
ln32535
35
21
232
2
.
Пример 4.7.
ò ò òò
+-=
+
-=
+
-+
=
+
+
Cxx
dx
dxdx
x
dx
x
arctg2
1
2
1
1)1(2
1
12
22
2
2
2
.
Пример 4.8.
ò ò ò
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
+
=
++
dx
x
dx
x
x
dx
x
xx
22
2
2
22
cos
6
1
cos
6cos
cos
4sin2cos3
òò
++=+= Cxx
x
dx
dx tg6
cos
6
2
.
Пример 4.9.
(
)
(
)
òòòò
=
+
+-=
+
+-
=
+
+
2
92
2
94
2
5
2
2
2
4
2
4
dx
dxxdx
x
dx
x
C
x
x
x
++-=
2
arctg92
3
3
.

Страницы