Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52 53
( )( )
òò
+-
=
-+
=
51
54
2
zz
zdz
zz
zdz
I
. Представим правильную дробь как
сумму простейших дробей:
( )( )
(
)
(
)
( )( )
51
15
5151 +-
-
+
+
=
+
+
-
=
+- zz
zBzA
z
B
z
A
zz
z
.
Для нахождения неизвестных коэффициентов выпишем тожде-
ственное равенство исходного и вновь полученного числителей:
(
)
(
)
15
-
+
+
=
zBzAz
.
Придадим переменной значение
6
1
61:1 =Û== AAz
. Затем
при
5
-
=
z
тождество примет вид:
6
5
65 =Û-=- BB
.
Тогда
=+++-=
+
+
-
=
òò
Czz
z
dz
z
dz
I 5ln
6
5
1ln
6
1
5
6
5
1
6
1
.5arcsinln
6
5
1arcsinln
6
1
Cxx +++-=
Пример 10.11.
dxxxI
ò
= arctg
2
. Воспользуемся формулой
интегрирования по частям. Положим
dxxdvxu
2
, arctg ==
. Найдем
2
1
x
dx
du
+
=
и
ò
==
3
3
2
x
xv
.
Тогда
( )
( )
( )
.1ln
6
1
6
1
arctg
3
1
1
6
1
6
1
arctg
3
1
1
1
6
1
arctg
3
1
11
6
1
arctg
3
1
3
1
arctg
3
1
3
arctg
3
22
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
23
2
23
2
33
Cxxx
x
x
xd
dxx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
dxxx
x
x
x
dxx
x
x
I
+++-=
+
+
+-=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
--=
+
-+
-=
=
+
×
-=
+
×-=
ò ò
òò
òò
Пример 10.12.
(
)
ò
+= dxxxI 2ln
2
. Применим здесь формулу
интегрирования по частям, полагая
(
)
dxxdvxu
2
,2ln =+=
. Тогда
3
,
2
3
x
v
x
dx
du =
+
=
. Отсюда
( )
ò
+
-+= dx
x
x
x
x
I
2
3
1
2ln
3
33
. Выделим
в неправильной рациональной дроби целую часть делением числителя
на знаменатель.
8
84
4
42
2
42
2
2
2
2
2
23
3
-
+
--
-
+-
+
+
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
Получим
( )
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-+--+=
ò
dx
x
xxx
x
I
2
8
42
3
1
2ln
3
2
3
( )
Cxx
xx
x
x
+++-+-+= 2ln
3
8
3
4
3
9
2ln
3
233
.
Пример 10.13.
( ) ( ) ( )( ) ( )
.sinln
2
1
sinlnsinlnsinlnctg
2
Cxxdxdxxx +==
òò
Здесь мы заметили, что
( )( )
x
x
x
x ctg
cos
sinln ==
¢
.
Пример 10.14.
(
)
ò
+
+
+
=
25
6
5
2
2
xx
xx
e
e
dxee
I
. Введем новую переменную
x
e
z
=
. Тогда
dx
e
dz
x
=
. Получим
(
)
ò
+
+
+
=
25
6
5
2
z
z
dzz
I
. Воспользуемся

Страницы