Составители:
Рубрика:
54 55
формулами
(
)
( )
262
2
1
5,62256
2
++=++=
¢
++ zzzzz
.
Тогда
(
)
( )
=
++
+
+
++
+
=
òò
163
)3(
2
256
62
2
1
22
z
zd
zz
dzz
I
(
)
=+
+
+++= C
z
zz
4
3
arctg
2
1
256ln
2
1
2
(
)
.
4
3
arctg
2
1
256ln
2
1
2
C
e
ee
x
xx
+
+
+++=
Пример 10.15.
ò
+
+
= dx
x
x
I
44
54
. Введем новую переменную
44 += xz
. Найдем
1
5
4
2
+
=
+
z
x
. Тогда
zdz
dx
2
4
=
, откудауда
zdzdx
2
1
=
. Таким образом
òò
+=
+
= dzz
z
zdzz
I 1
2
1
2
1
2
2
. Получили
интеграл, вычисленный ранее в примере 6.9,
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++++= 1ln1
4
1
22
zzzzI
(
)
(
)
.5444ln5444
4
1
Cxxxx ++++++×+=
Пример 10.16.
òò
+
+
=
+
+
= dx
ee
ee
dx
e
e
I
xx
xx
x
x
)2(
)4(
2
4
. Сделаем замену
переменной
x
e
z
=
. Тогда
dx
e
dz
x
=
и
(
)
( )
ò
+
+
=
zz
dzz
I
2
4
. Разложимжим
правильную дробь в сумму простейших дробей:
( )
( )
( )
2
2
22
4
+
++
=
+
+=
+
+
zz
BzzA
z
B
z
A
zz
z
.
Из тождественного равенства числителей
(
)
BzzAz
+
+
=
+
24
найдем неизвестные буквенные коэффициенты.
При
0
=
z
тождество принимает вид
A
2
4
=
, откуда
2
=
A
.
При
2
-
=
z
тождество принимает вид
B
2
2
-
=
и
1
-
=
B
.
Отсюда
=++-=
+
-=
òò
Czz
z
dz
z
dz
I 2lnln2
2
2
.2ln22lnln2 CexCee
xxx
++-=++-=
Предложим другое решение, которое использует интеграл, взятый
в примере 5.8.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.2ln22ln2ln
12ln
2
2
1
2
4
CexCxexCeex
Cexdx
e
dx
e
e
xxxx
x
xx
x
++-=+++-=++-=
=++-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+=
+
+
-
-
òò
Пример 10.17.
ò
+
=
3
1
x
dx
I
. Разложим подынтегральную функцию
на простейшие дроби.
( )
.
)1(1
)1()()1(
1
1
)1()1(
1
1
1
2
2
223
+-+
++++-
=
=
+-
+
+
+
=
+-+
=
+
xxx
xDBxxxA
xx
DBx
x
A
xxxx
Рассмотрим тождественное равенство исходного числителя и вновь
полученного:
(
)
(
)
1)1(1
2
++++-º xDBxxAx
.
Положим в нем последовательно
0
;
1
=
-
=
x
x
, а затем сравним
коэффициенты при
2
x
. Тогда получим систему уравнений для нахожде-
ния неизвестных буквенных коэффициентов:
ï
þ
ï
ý
ü
+=
+=
=
.0
;1
;31
BA
DA
A
Решая ее, найдем
3
1
,
3
2
,
3
1
-=== BDA
.
