Основы механики сплошных сред. Смогунов В.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
движения для индивидуального объема материального континуума
представляется в виде интегродифференциального уравнения
dtdSpdVFdVd
VS
n
V
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρυ
∫∫∫
,
или эквивалентного уравнения
∫∫∫
+=ρυ
VS
n
V
dSpdVFdV
dt
d
. (9)
Для получения дифференциального уравнения, выражающего второй
закон Ньютона для сплошной среды, выражение (9). Преобразуя с учётом
неизменности во времени массы индивидуальных частиц
d
V
dm
ρ
= и
скорость изменения полного импульса индивидуального объема
определяется только ускорениями индивидуальных частиц:
∫∫
ρ
υ
=ρυ
VV
dV
dt
d
dV
dt
d
Вектор внешней поверхностной силы
n
p
в любой точке поверхности
S
с единичной нормалью
n
однозначно определяет вектор полного
напряжения
nn
p=σ
,
действующий в данной точке на соответствующей
площадке. Последний можно представить через тензор напряжений в
сплошной среде в точке на поверхности и единичную нормаль
(
)
n
n
⋅
σ
=σ
,
так что полная поверхностная сила равна потоку тензора напряжений через
замкнутую поверхность, ограничивающую выбранный индивидуальный
объем:
()
∫∫
⋅σ=
SS
n
dSndSp
. Используя далее теорему Остроградского-
Гаусса (9) преобразуем в соотношение 
движения для индивидуального объема материального континуума
представляется в виде интегродифференциального уравнения

                              ⎛       ⎞ ⎛                 ⎞
                            d ⎜ υ ρdV ⎟ = ⎜ F dV + p n dS ⎟dt ,
                               ∫                ∫           ∫
                              ⎜       ⎟ ⎜                 ⎟
                              ⎝V      ⎠ ⎝V        S       ⎠
     или эквивалентного уравнения
                                    d
                                    dt∫             ∫
                                       υ ρdV = F dV + p n dS .  ∫                    (9)
                                      V             V           S

     Для получения дифференциального уравнения, выражающего второй
закон Ньютона для сплошной среды, выражение (9). Преобразуя с учётом
неизменности во времени массы индивидуальных частиц dm = ρdV и
скорость       изменения     полного          импульса          индивидуального   объема
определяется только ускорениями индивидуальных частиц:

                                     d          dυ
                                     dt   ∫
                                        υ ρdV =
                                                dt
                                                   ρdV  ∫
                                          V             V

     Вектор внешней поверхностной силы p n в любой точке поверхности
S    с единичной нормалью n однозначно определяет вектор полного
напряжения σ n = p n , действующий в данной точке на соответствующей
площадке. Последний можно представить через тензор напряжений в
сплошной среде в точке на поверхности и единичную нормаль σ n = (σ ) ⋅ n ,
так что полная поверхностная сила равна потоку тензора напряжений через
замкнутую поверхность, ограничивающую выбранный индивидуальный

объем:   ∫ pn dS = ∫ (σ) ⋅ n dS .   Используя далее теорему Остроградского-
           S        S

Гаусса (9) преобразуем в соотношение




                                              24

Страницы