Основы механики сплошных сред. Смогунов В.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
е. когда поглощение звука на расстоянии, равном длине волны λ, мало и
1≤λ
a . В большом числе акустических задач это условие выполняется.
Пользуясь полученным выражением (55) и считая по-прежнему, что
0=υ
ro
t
, можно показать, что уравнение Навье – Стокса примет вид
υ∇+ρ
′
∇−=∂υ∂ρ
22
0
/ bct , (55)
где
(
)
pV
CCb /1/1
3
4
−ℵ+η
′
+η= . (56)
Из уравнений (52), (55) получается уравнение, которое для
потенциала скорости записывается в виде
0
2
0
22
2
2
=ϕ∇
∂
∂
ρ
−ϕ∇−
∂
ϕ∂
t
b
c
t
. (57)
Это волновое уравнение описывает распространение волн
бесконечно малой амплитуды в среде с диссипацией, но без учета
дисперсии; диссипативный коэффициент
b считается здесь не зависящим
от частоты.
В случае плоской гармонической волны и решении этого уравнения
в виде
()
]exp[
0
kxti −ωϕ=ϕ
,
при подстановке этого значения в (57),
получается для волнового числа
k
следующее выражение:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
ω
−
ω
=
3
0
2
1
c
b
i
c
k . (58)
Полагая
21
ikkk −= и принимая во внимание, что
(
)
(
)
(
)
ikxtikxti
−
ω
=
−
ω
expexp]exp[ ,
(
)
(
)
(
)
xkxikikx
21
expexpexp
−
−
=
−
. 
е. когда поглощение звука на расстоянии, равном длине волны λ , мало и
aλ ≤ 1. В большом числе акустических задач это условие выполняется.
     Пользуясь полученным выражением (55) и считая по-прежнему, что
rotυ = 0 , можно показать, что уравнение Навье – Стокса примет вид

                                    ρ 0 ∂υ / ∂t = −c 2 ∇ρ′ + b∇ 2 υ ,              (55)

     где

                                                           (
                                 b = 4 η + η′ + ℵ 1 / CV − 1 / C p .
                                      3
                                                                            )      (56)

     Из уравнений (52), (55) получается уравнение, которое для
потенциала скорости записывается в виде

                                  ∂ 2ϕ                      b ∂ 2
                                            − c 2∇ 2 ϕ −          ∇ ϕ = 0.         (57)
                                   ∂t   2                  ρ 0 ∂t

     Это      волновое    уравнение          описывает           распространение   волн
бесконечно малой амплитуды в среде с диссипацией, но без учета
дисперсии; диссипативный коэффициент b считается здесь не зависящим
от частоты.
     В случае плоской гармонической волны и решении этого уравнения
в виде ϕ = ϕ 0 exp[i(ωt − kx )] , при подстановке этого значения в (57),
получается для волнового числа k следующее выражение:

                                                  ω ⎛⎜       bω ⎞⎟
                                             k=        1− i             .          (58)
                                                  c ⎜⎝      2ρ 0 c 3 ⎟⎠

     Полагая k = k1 − ik 2 и принимая во внимание, что

                         exp[i(ωt − kx )] = exp(iωt ) exp(− ikx ) ,

                         exp(− ikx ) = exp(− ik1 x ) exp(− k 2 x ) .




                                            60

Страницы