Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

53
Таким образом, дифференциальное уравнение свободных колебаний
материальной точки имеет вид
0
=
+ cx
x
m
&&
. (2.1)
Разделим обе части уравнения (2.1) на
m и введем обозначение
m
c
k =
2
:
0
2
=+
x
k
x
&&
, (2.2)
здесь
m
c
k =
– это круговая (или циклическая) частота колебаний.
Единица изменения циклической частоты – 1/с.
Дифференциальное уравнение (2.2) – однородное линейное
уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его решение
(второй интеграл) следует искать:
–в тригонометрической форме:
ktCktCx sincos
21
+
=
, (2.3)
– или в амплитудной:
)sin(
α
+
= ktA
x
, (2.4)
где
ε
,,,
21
ACC
– постоянные интегрирования.
Постоянные интегрирования в этих выражениях связаны
следующими соотношениями:
2
2
2
1
CCA += ;
α
=
sin
1
AC ;
α
=
cos
2
AC ;
2
1
tg
C
C
=α
.
где
A – амплитуда колебаний,
α
– начальная фаза.
Решение в амплитудной форме (2.4) удобно для общего анализа
движения, а решение в тригонометрической форме (2.3) – для отыскания
значений постоянных интегрирования. 
      Таким образом, дифференциальное уравнение свободных колебаний
материальной точки имеет вид
      m&x& + cx = 0 .                                                         (2.1)
                                                                             c
Разделим обе части уравнения (2.1) на m и введем обозначение k 2 =             :
                                                                             m

      &x& + k 2 x = 0 ,                                                       (2.2)

              c
здесь k =       – это круговая (или циклическая) частота колебаний.
              m
Единица изменения циклической частоты – 1/с.
      Дифференциальное          уравнение   (2.2)   –   однородное      линейное
уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его решение
(второй интеграл) следует искать:
–в тригонометрической форме:
      x = C1 cos kt + C2 sin kt ,                                             (2.3)

– или в амплитудной:
      x = A sin(kt + α) ,                                                     (2.4)

где C1 , C2 , A, ε – постоянные интегрирования.

      Постоянные          интегрирования    в   этих    выражениях       связаны
следующими соотношениями:
                                                                      C1
                A = C12 + C22 ; C1 = A sin α ; C2 = A cos α ; tgα =      .
                                                                      C2

где A – амплитуда колебаний, α – начальная фаза.
      Решение в амплитудной форме (2.4) удобно для общего анализа
движения, а решение в тригонометрической форме (2.3) – для отыскания
значений постоянных интегрирования.




                                       53

Страницы