Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
kt
k
x
ktxx sincos
0
0
&
+=
(2.6)
Соответственно
A и α для уравнения (2.4)
k
x
xCCA
2
0
2
0
2
2
2
1
&
+=+=
;
0
0
2
1
tg
x
kx
C
C
&
==α
.
Уравнение (2.4) принимает вид
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
0
0
2
0
2
0
sin
x
kx
arctgkt
k
x
xx
&
&
.
Свободные колебания точки характеризуются частотой
k и периодом
T, не зависящими от начальных условий, а также амплитудой A и
начальной фазой колебаний
α , которые зависят от начальных условий.
Изобразим точку в произвольном положении, когда ее координата и
скорость положительны. Рассмотрим прямолинейное движение точки под
действием восстанавливающей силы и силы сопротивления,
пропорциональной скорости в первой степени
vR μ−= , где
μ
–
коэффициент сопротивления. Знак минус указывает, что сила
R
направлена противоположно вектору скорости
v
(
xR
x
&
μ
−
=
) (рисунок 24).
O
x
x
v
x
F
R
x
Рисунок 24
Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось
x
следующее:
∑
=
x
Fxm
&&
, или
xx
RFxm
−
−=
&&
(2.7)
Подставляя значения
F
x
и R
x
, получим:
cx
x
x
m
−
μ
−=
&&&
. 
                     x&
      x = x0 cos kt + 0 sin kt                                                                 (2.6)
                      k
     Соответственно A и α для уравнения (2.4)

                                         x&02                       C1 kx0
      A=       C12   + C22   =   x02   +      ;       tgα =           =    .
                                          k                         C2 x&0

     Уравнение (2.4) принимает вид

                      x&02      ⎛           kx ⎞
      x = x02 +            sin ⎜⎜ kt + arctg 0 ⎟⎟ .
                       k        ⎝            x&0 ⎠

     Свободные колебания точки характеризуются частотой k и периодом
T, не зависящими от начальных условий, а также амплитудой A и
начальной фазой колебаний α , которые зависят от начальных условий.
     Изобразим точку в произвольном положении, когда ее координата и
скорость положительны. Рассмотрим прямолинейное движение точки под
действием        восстанавливающей                     силы           и    силы     сопротивления,
пропорциональной скорости в первой степени                                     R = −μv , где   μ   –
коэффициент сопротивления. Знак минус указывает, что сила                                          R
направлена противоположно вектору скорости v ( Rx = −μx& ) (рисунок 24).

                                       O                   F              vx   x
                                                  x            Rx


                                                  Рисунок 24
     Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось x
следующее:

      m&x& =   ∑ Fx , или m&x& = − Fx − Rx                                                     (2.7)

     Подставляя значения Fx и Rx, получим:
      m&x& = −μx& − cx .




                                                      56

Страницы