Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

57
Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:
0
=
+
μ
+ cx
x
x
m
&&&
. (2.8)
Поделим левую и правую части уравнения на
m и введем обозначения
M
c
k =
2
и
M
n
μ
=2
(
k – частота свободных колебаний, n – коэффициент
затухания). Получим дифференциальное уравнение в приведенной форме:
02
2
=++
x
k
x
n
x
&&&
. (2.9)
Уравнение (2.9) может иметь возможные решения в следующих
случаях:
1)
n<k – случай малого сопротивления.
2)
n>k – случай большого сопротивления.
В первом случае
решение дифференциального уравнения (2.9)
следует искать:
– или в тригонометрической форме:
)sincos(
1
2
1
1
tkCtkCex
nt
+=
−
; (2.10)
– или в амплитудной:
)sin(
1
α+=
−
tkAex
nt
, (2.11)
где
22
1
nkk −=
– циклическая частота затухающих колебаний;
2
2
2
1
CCA +=
;
2
1
tg
C
C
=α
.
Здесь
α
,,,
21
ACC – также постоянные интегрирования.
Движение, определяемое уравнением (2.11) имеет колебательный
характер, т.к. координата
x периодически изменяет свой знак (при
изменении знака функции синуса), однако амплитуда колебаний 
       Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:
       m&x& + μx& + cx = 0 .                                                       (2.8)

Поделим левую и правую части уравнения на m и введем обозначения
       c        μ
k2 =     и 2n =   (k – частота свободных колебаний, n – коэффициент
       M        M
затухания). Получим дифференциальное уравнение в приведенной форме:

       &x& + 2nx& + k 2 x = 0 .                                                    (2.9)
       Уравнение (2.9) может иметь возможные решения в следующих
случаях:
       1) nk – случай большого сопротивления.
       В первом случае решение дифференциального уравнения (2.9)
следует искать:
– или в тригонометрической форме:

       x = e − nt (C1 cos k1t + C2 sin k1t ) ;                                    (2.10)

– или в амплитудной:

       x = Ae − nt sin( k1t + α) ,                                                (2.11)

где    k1 = k 2 − n 2       – циклическая             частота    затухающих   колебаний;

                            C1
A = C12 + C22 ; tgα =             .
                            C2

Здесь C1 , C2 , A, α – также постоянные интегрирования.

       Движение, определяемое уравнением (2.11) имеет колебательный
характер, т.к. координата x периодически изменяет свой знак (при
изменении       знака      функции       синуса),       однако    амплитуда   колебаний




                                                 57

Страницы