Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

86
где
m
n
2
μ
=
,
m
c
k =
2
,
()
1
α
+−
=
ga
;
1
10
12
20
−
=
⋅
= cn
,
12
500
1
500
−
== ck
,
1
3622
−
= c,k
,
g
,a 52
=
.
2. Для определения закона движения груза нужно проинтегрировать
полученное дифференциальное уравнение. Его общее решение будет равно
сумме
21
xxx
+
= , где
1
x – решение однородного дифференциального
уравнения
02
1
2
11
=++ xkxnx
&&&
и это решение имеет вид
()
ktCktCex
nt
cossin
211
+=
−
; х
2
– частное решение уравнения.
Решение х
2
ищем в виде Ax
=
2
. Тогда 0
2
=
x
&
, 0
2
=
x
&&
, откуда aA
k
=
2
и
м050
500
1052
2
,
,
k
a
A −=
⋅
−==
.
Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
()
AktCktCex
nt
++=
−
cossin
21
.
Первая производная по времени от закона движения будет
представлять собой закон изменения скорости – первый интеграл
(
)
(
)
ktkCkkCektCktCnex
ntnt
sincoscossin
2121
−++−=
−
−
&
.
При
0
=
t
0
0
=
x
,
смx 3
0
=
&
, таким образом
ACx
+
=
=
20
0, откуда м,AC 050
2
=
−
=
;
120
3 kCnCx
+
−
=
=
&
, откуда
56,1
36,22
05,01033
2
1
=
⋅
+
=
+
=
k
C
C
.
С учетом найденных постоянных интегрирования закон
относительного движения точки примет вид
(
)
мttex
t
05,036,22cos05,036,22sin56,1
10
−+=
−
. 
                μ        c                        20                     500
где n =           , k 2 = , a = −( g + α1 ) ; n =      = 10 c −1 , k 2 =     = 500c −1 ,
               2m        m                        2 ⋅1                    1

k = 22 ,36c −1 , a = 2,5 g .

       2. Для определения закона движения груза нужно проинтегрировать
полученное дифференциальное уравнение. Его общее решение будет равно
сумме x = x1 + x2 , где x1 – решение однородного дифференциального

уравнения             &x&1 + 2nx&1 + k 2 x1 = 0    и       это     решение       имеет    вид

x1 = e − nt (C1 sin kt + C2 cos kt ) ; х2 – частное решение уравнения.

       Решение х2 ищем в виде x2 = A . Тогда x&2 = 0 , &x&2 = 0 , откуда k 2 A = a
       a            2,5 ⋅10
и A=           =−           = −0 ,05 м .
           2         500
       k
       Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид x = e − nt (C1 sin kt + C2 cos kt ) + A .

       Первая производная по времени от закона движения будет
представлять собой закон изменения скорости – первый интеграл

       x& = −ne − nt (C1 sin kt + C2 cos kt ) + e − nt (kC1 cos k − kC2 sin kt ) .

       При t = 0 x0 = 0 , x&0 = 3 м с , таким образом

       x0 = 0 = C2 + A , откуда C2 = − A = 0,05 м ;

                                                       3 + C2 3 + 10 ⋅ 0,05
       x&0 = 3 = −nC2 + kC1 , откуда C1 =                    =              = 1,56 .
                                                          k      22,36

       С         учетом        найденных          постоянных        интегрирования       закон
относительного движения точки примет вид

                         x = e −10t (1,56 sin 22,36t + 0,05 cos 22,36t ) − 0,05 м .




                                                  86

Страницы