Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 89 стр.

      Из рисунка 34 видно, что в произвольный момент времени абсциссы
грузов равны соответственно x1 = x3 + r cos ϕ1 , x2 = x3 − R sin ϕ2 . Так как по

формуле,      определяющей             координату          хС          центра        масс           системы,
MxC = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 , то
      MxC = (m1 + m2 + m3 )x3 + m1r cos ϕ1 − m2 R sin ϕ2 =
                                   ⎛π
                                   ⎝3
                                             ⎞
                                             ⎠
                                              (        )  ⎡π
                                                          ⎣6
                                                                    ⎤
      = (m1 + m2 + m3 )x3 + m1r cos⎜ t 2 + 1 ⎟ − m2 R sin ⎢ t 2 − 2 ⎥.
                                                                    ⎦
                                                                           (          )
      В соответствии с равенством MxC = const координаты центра масс хС

всей системы в начальном и произвольном положениях будут равны.
                                          π          π
Учитывая, что при t0=0, x3=0 MxC = m1r cos + m2 R sin , получим
                                0
                                          3          3

                (m1 + m2 + m3 )x3 + m1r cos⎡⎢ π (t 2 + 1)⎤⎥ − m2 R sin ⎡⎢ π (t 2 − 2)⎤⎥ =
                                                  ⎣3           ⎦                ⎣6              ⎦
                         π          π
                = m1r cos + m2 R sin .
                         3          3
      Отсюда получаем зависимость координаты х3 от времени

             m1r cos
                        π
                        3
                                    π
                                    3
                                              ⎡π
                                              ⎣3
                                                       (⎤
                                                        ⎦
                                                                   ) ⎡π
                                                                     ⎣6
                                                                               ⎤
                          + m2 R sin − m1 cos ⎢ t 2 + 1 ⎥ + m2 R sin ⎢ t 2 − 2 ⎥
                                                                               ⎦=
                                                                                      (             )
      x3 =
                                       (m1 + m2 + m3 )
          2 ⋅ 0,4 cos
                        π
                        3
                                       π
                                       3
                                                      ⎡π
                                                      ⎣3
                                                           (    ⎤
                                                                ⎦
                                                                       )        ⎡π
                                                                                ⎣6
                                                                                          ⎤
                          + 6 ⋅ 0,8 sin − 2 ⋅ 0,4 cos ⎢ t 2 + 1 ⎥ + 6 ⋅ 0,8 sin ⎢ t 2 − 2 ⎥
                                                                                          ⎦.
                                                                                            (           )
      =
                                              2 + 6 + 12
                                   π     π                π     π
      Ответ: x3 = 0,23 − 0,04 cos⎛⎜ t 2 + ⎞⎟ + 0,24 sin ⎛⎜ t 2 − ⎞⎟ м.
                                  ⎝3     3⎠              ⎝6     3⎠
      б) Определение реакции N. Для определения N = f (t ) составим

дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции
на вертикальную ось у (см. рисунок 34):
                                     e
                         M&y&C = ∑ Fkx      или M&y&C = N − P1 − P2 − P3 .




                                                  89