Дискретная математика. Бинарные отношения. Соколова С.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9
3. Понятие бинарного отношения
Пусть
дано
декартово
произведение
двух
непустых
множеств
А
и
В
,
при
этом
множества
могут
быть
любыми
:
пересекающимися
,
равны
-
ми
,
входящими
одно
в
другое
и
т
.
д
.
Элементами
множества
А×В
явля
-
ются
упорядоченные
пары
(
a
i
, b
j
),
где
a
i
∈
A
;
b
j
∈
B
;
i
=1, 2,…, |
А
|;
j
=1, 2,
3,…, |
B
|.
Всякое
подмножество
декартова
произведения
А×В
называется
бинарным
отношением
,
определенным
на
паре
множеств
А
и
В
(
по
ла
-
тыни
«
бис
»
обозначает
«
дважды
»).
Для
обозначения
бинарного
отношения
применяют
знак
R
.
По
-
скольку
R
–
это
подмножество
множества
А×B
,
то
можно
записать
R
⊆
А×В
.
Если
же
требуется
указать
,
что
(
а, b
)∈
R
,
т
.
е
.
между
элемента
-
ми
а
∈
А
и
b
∈
B
существует
отношение
R
,
то
пишут
aRb
.
Пусть
,
например
A
= {1, 2, 3},
B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (1)
Множество
A×B
содержит
18
упорядоченных
пар
.
Выделим
на
этом
множестве
отношение
«
больше
»:
а
>
b
,
где
а
∈
А
и
b
∈
B
.
Тогда
R
={(2, 1), (3, 1), (3, 2)},
т
.
е
.
из
18
пар
множества
А×B
три
упорядоченные
пары
принадлежат
отношению
aRb
,
где
R
обозначает
слово
«
больше
».
Если
вместо
букв
подставить
их
значения
,
то
получим
верные
утверждения
:
2>1; 3>1; 3>2.
Очевидно
,
что
в
этом
случае
справедливо
равенство
:
aRb
={(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
Рассмотрим
еще
один
пример
.
Пусть
R обозначает
«
меньше
про
-
стого
числа
»
на
множествах
(1).
Тогда
aRb
={(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5)}.
Если
вместо
всех
трех
букв
a, R, b подставить
их
значения
,
то
по
-
лучим
шесть
верных
утверждений
:
1
меньше
простого
числа
2;
1
меньше
простого
числа
3,
и
т
.
д
.
При
подстановке
других
значений
а и
b
(
но
при
том
же
R
)
будем
получать
ложные
утверждения
.
Среди
подмножеств
множества
A×B
имеется
2
|A×B|
-2
собственных
подмножеств
и
два
несобственных
:
одно
из
них
пусто
,
а
второе
совпа
-
дает
с
самим
множеством
А×B
.
Формально
оба
эти
несобственные
под
-
множества
также
представляют
собой
некоторые
отношения
между
элементами
множеств
А
и
B
.
Пусть
,
например
,

Страницы