Дискретная математика. Комбинаторика. Соколова С.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16
Таким образом, формула бинома для произвольного натурального
n
имеет вид:
(
)
0 1 1 2 2 2 1 1
...
n
n n n n n n n
n n n n n
a b C b C ab C a b C a b C a
− − − −
+ = + + + + +
или
( )
0
n
n
k k n k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
.
Пример. При
n
=
получим формулу
( )
4
0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4 4
4 3 2 2 3 4
4 6 4 ,
a b C b C ab C a b C a b C a
b ab a b a b a
+ = + + + + =
= + + + +
т
.
к
.
( )
0
4
4!
1;
0! 4 0 !
C
= =
−
( )
1
4
4!
4;
1! 4 1 !
C
= =
−
( )
2
4
4!
6;...
2! 4 2 !
C = =
−
Проверьте
правильность
формулы
,
перемножив
(
)
3
a b
+
на
(
)
a b
+
.
Строгое
доказательство
формулы
бинома
Ньютона
проводится
методом
математической
индукции
.
12.
СВОЙСТВА
БИНОМИАЛЬНЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
Биномиальными
коэффициентами
являются
величины
( )
!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−
,
которые
выражают
число
сочетаний
из
n
элементов
по
k
.
Эти
величины
обладают
следующими
свойствами
.
Свойство
симметрии
:
k n k
n n
C C
−
= .
В
формуле
бинома
это
означает
,
что
коэффициенты
,
стоящие
на
одинаковых
местах
от
левого
и
правого
концов
формулы
,
равны
,
например
:
2 4
6 6
6!
15.
2! 4!
C C
= = =
⋅
Действительно
,
k
n
C
−
это
количество
подмножеств
,
содержащих
k
элементов
,
множества
,
содержащего
n
элементов
.
А
n k
n
C
−
−
количество
дополнительных
к
ним
подмножеств
.
Сколько
подмножеств
,
сколько
и
дополнений
.

Страницы