Дискретная математика. Комбинаторика. Соколова С.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18
Свойство
разности
(
)
0 1 2 3
... 1 0.
n
n
n n n n n
C C C C C
− + − + − =
Положим
в
формуле
бинома
Ньютона
1, 1
a b
= = −
.
Получим
в
левой
части
(
)
1 1 0
n
,
а
в
правой
–
биномиальные
коэффициенты
с
чередующимися
знаками
,
что
и
доказывает
свойство
.
Последнее
свойство
удобнее
записать
,
перенеся
все
коэффициенты
с
отрицательными
знаками
в
левую
часть
формулы
:
1 3 5 0 2
... ...,
n n n n n
C C C C C
+ + + = + +
тогда
свойство
легко
запоминается
в
словесной
формулировке
: «
сумма
биномиальных
коэффициентов
с
нечетными
номерами
равна
сумме
биномиальных
коэффициентов
с
четными
номерами
».
Задача
.
Найти
член
разложения
бинома
4
1
n
x
x
+
,
не
содержащий
x
,
если
сумма
биномальных
коэффициентов
с
нечетными
номерами
равна
512.
Решение
.
По
свойству
разности
сумма
биномиальных
коэффициентов
с
четными
номерами
также
равна
512,
значит
,
сумма
всех
коэффициентов
равна
512 + 512 = 1024.
Но
по
свойству
суммы
это
число
равно
10
2 2 1024
n
= =
.
Поэтому
10
n
=
.
Запишем
общий
член
разложения
бинома
и
преобразуем
его
:
4 4
1
4
1
, 0,1,..., ;
n k
k k n k k k k k n k
k n n n
T C a b C x C x k n
x
−
− − +
+
= = = =
при
10
n
=
получим
:
5 40
1 10
, 0,1,..., .
k k
k
T C x k n
−
+
= =
Член
разложения
1
k
T
+
не
содержит
x
,
если
5 40 0
k
− =
,
т
.
е
.
8.
k
=
Итак
,
девятый
член
разложения
не
содержит
x
и
равен
( )
8
9 10
10!
45.
8! 10 8 !
T C= = =
−
Свойство
максимума
.
Если
степень
бинома
n
−
четное
число
,
то
среди
биномиальных
коэффициентов
есть
один
максимальный
при
2
n
k
=
.
Если
степень
бинома
нечетное
число
,
то
максимальное
значение
достигается
для
двух
биномиальных
коэффициентов
при
1
1
2
n
k
−
=
и
2
1
2
n
k
+
= .

Страницы