Составители:
Рубрика:
8
где s
i
– сингулярные числа матрицы A; U
i
, V
i
– соответственно, левые и
правые сингулярные векторы; r – ранг матрицы. Эти сингулярные чис-
ла и сингулярные векторы удовлетворяют следующим соотношениям:
T
12
... 0, , 1, 1,
riiiii ii
ss s s≥≥ ≥ = = =
TT
UAV UU VV
(3)
.
i = 1,...,r
Известно, что процессы сингулярного разложения для любой веще-
ственной матрицы A обладают весьма полезными свойствами для тео-
рии и приложений, а именно, каждая матрица над полем вещественных
чисел имеет вещественные сингулярные числа и векторы. Кроме того,
сингулярное разложение матриц устойчиво к малым возмущениям мат-
риц, т. е. сингулярное разложение каждой матрицы является хорошо
обусловленной процедурой.
Относительно практических аспектов, сингулярное разложение мат-
рицы в общем случае может быть получено по достаточно простой и
надежной схеме:
(k+1 k
k+1 k+1 k+1
,,
TT
)()
() () ()
V=UAV=V/V
(k+1) k+1 (k+1) k+1 k+1
,==
() () ()
U
AV U U / U
(4)
kk 1
,...,/ / ε,
kkk
sss
+
=−≤
T
UAV
где k = 0, 1, 2,... – номер итерации;
k+1()
U
– любая векторная норма;
ε – заданная точность вычисления. Можно показать, что для произ-
вольных начальных векторов U
(0)
, V
(0)
итерации по схеме (4) сходятся в
общем случае к сингулярным векторам U, V, соответствующим макси-
мальному сингулярному числу S
max
= U
T
AV.
Следует отметить, что такие свойства нехарактерны для спектраль-
ного разложения, которое в действительности формирует основу для
многомерного статистического анализа. В отличие от сингулярного
разложения матриц, собственные числа и собственные векторы спект-
рального разложения являются вещественными только для веществен-
ных симметрических матриц, в общем случае не симметрические веще-
ственные матрицы обладают комплексным спектром и определить его
не просто.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
