Составители:
108
ной имеет вид 2(х–1)+0(y–0) = 0, т. е. касательная является вертикаль-
ной линией x = 1. Заметим, что если окружность или касательная запи-
саны в явном виде, получить этот результат невозможно.
Явное выражение для нормали, восстановленной в точке, где (·) Р,
имеет вид:
y = y–(x–x
1
)/f
' (x
1
). (4.26)
Это уравнение непригодно для случая, когда кривая горизонтальна в
точке Р. Соответствующее уравнение неявного вида записывается сле-
дующим образом:
g
y
(x
1
,y
1
)(x–x
1
)–g
x
(x
1
,y
1
)(y–y
1
) = 0. (4.27)
Это уравнение позволяет определять нормали в тех случаях, когда
применение явного уравнения невозможно или сопряжено с некоторы-
ми трудностями.
Приведем к параметрическому виду формулы для касательных и нор-
малей.
Касательная к кривой x = x(t), y = y(t) в точке Р с параметром t = t
1
определяется уравнениями
() () ()
() () ()
11
11
,
,
xxt xt xt
yyt yt yt
== +τ
== +τ
(4.28)
где τ – параметр на касательной, a
()
1
xt
,
()
1
yt
– значения производных
∂x/∂t и ∂y/∂t в точке t = t
1
.
Нормаль, восстановленная к этой кривой, определяется урав-
нениями
() ()
() ()
11
11
,
.
xxt yt
yyt xt
=+τ
=−τ
(4.29)
Чтобы найти точку пересечения двух параметрических кривых x = x(t),
y = y(t) и x = ξ(τ), y = η (τ), нужно решить систему из двух уравнений с
двумя неизвестными t и τ:
x(t)– ξ(τ) = 0,
y(t)– η(τ) = 0. (4.30)
Таким образом, здесь ситуация ничуть не лучше, чем в случае, когда
кривые описаны при помощи уравнений неявного вида. Если же урав-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
