Составители:
110
Соответствующая формула для кривой, определенной неявным урав-
нением f(x, y) = 0, имеет вид:
()
22
3/2
22
2
,
xx y xy x y yy y
xy
ff fff ff
x
ff
−+
=
+
(4.36)
где подстрочные индексы х и у означают частное дифференцирование
по х и у, например f
xy
= ∂
2
f/∂x∂y.
Для кривой, описанной параметрическими уравнениями х = x(t), y =
y(t), соответствующее выражение имеет вид:
()
3/2
22
,
xy yx
x
xy
−
=
+
(4.37)
где точки означают дифференцирование по параметру t.
Свойства полиномов Бернштейна:
1. Сумма полиномов, определенных на заданном отрезке, равна единице
()
[]
0
10,1.
n
n
i
i
Bu u
=
≡∀∈
∑
(4.38)
2. Все полиномы не отрицательны на заданном отрезке
()
[]
1, 0,1 .
n
i
Bu u
≡∀∈
(4.39)
3. Значения полинома p(u) находятся в интервале
()
0
0
min max
nn
ii
in
in
fpu f
≤≤
≤≤
≤≤
(4.40)
(это означает, что кривая, определяемая полиномом p(u), лежит внутри
выпуклой оболочки коэффициентов
n
i
f
).
Часто это свойство называют «свойством выпуклости оболочки».
На плоскости выпуклая оболочка представляет собой область, ограни-
ченную выпуклой ломаной, а в пространстве – выпуклым многогран-
ником.
Возможно рекурсивное вычисление полиномов степени n, если из-
вестны полиномы степени (n – 1):
() ( ) () ()
()
11
1,01,
00, .
nnn
iii
n
i
Bu uB u uB u u
Bu i in
−−
=− + ≤≤
=∀< ∀<
(4.41)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
