Составители:
109
нение одной кривой дано в неявном виде, а другой – в параметричес-
ком, можно параметрическое уравнение подставить в уравнение неяв-
ного вида, в результате чего получается одно (как правило, нелиней-
ное) уравнение с одной неизвестной t.
Пример 4.3
Определение точек пересечения
Найдем точки пересечения окружности x
2
+y
2
–1 = 0 и прямой x = t,
у = 1 – t. Имеем
t
2
+(1–t)
2
–1 = 0, (4.31)
Откуда
t
2
+1–2t+t
2
–1 = 0,
2(t
2
–t) = 0 (4.32)
и t = 0 или 1.
Подставляя этот результат в уравнения параметрического вида, по-
лучаем две точки пересечения: (0, 1) и (1, 0).
Если, наоборот, та же самая окружность дана уравнениями парамет-
рического вида x = cost, y = sint, а прямая определена уравнением неяв-
ного вида x+у–1 = 0, то мы получаем тригонометрическое уравнение
сost + sint – 1 = 0. (4.33)
В этом случае решения t = 0 и t = π/2 очевидны. Однако для получе-
ния параметра t это метод, как правило, требует численного решения.
Кривизна кривой характеризуется радиусом кривизны ρ кривой у = у(х),
который определяется известной формулой
()
3/ 2
2
1
,
y
y
+
ρ=
(4.34)
где штрих означает дифференцирование по х. Так как радиус кривизны
бесконечен в точках перегиба кривой, удобнее пользоваться самой кри-
визной κ = 1/ρ, поскольку эта величина конечная, если только на кри-
вой нет заострений. Итак,
()
3/2
2
.
1
y
y
κ=
+
(4.35)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
