Составители:
120
касательную в точке с параметром u = 0. В общем случае касательная в
точке r
0
определяется вектором r
0
и первым вектором r
i
, отличным от
r
0
. Таким образом, касательная в точке u = 0 может быть определена
даже в том случае, если касательный вектор равен нулю. Для другого
конца дуги u = 1 рассуждения аналогичны.
4.2. Построение и обработка поверхностей
Любая вектор-функция r = r(u,v) от двух переменных может опреде-
лять поверхность, координаты точек которой определяются функциями
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v). При фиксированных значениях u или v
эти функции определяют векторные уравнения r = r(u
0
,v) и r = r(u,v
0
)
кривых, лежащих на поверхности r = r(u,v). При этом u
0
,v
0
– констан-
ты, принадлежащие множеству значений параметров {u},{v}, опреде-
ляющих данную поверхность. Такие кривые называются параметри-
ческими кривыми на поверхности. Характер кривых зависит от способа
параметризации (выбора (определения!) параметров и их взаимозави-
симости – см. подразд. 4.1). Так, плоскость, проходящая через точку r
0
и содержащая прямые r = r
0
+u n
1
и r = r
0
+v n
2
, где n
1
и n
2
– единичные
векторы, определяется уравнением
r = r
0
+u n
1
+v n
2
.
Параметры u и v являются координатами точки в плоской, как пра-
вило косоугольной, системе координат, оси которой параллельны век-
торам n
1
и n
2
.
Поверхности широкого класса геометрических объектов обладают
свойством регулярности.
Определение. Регулярной поверхностью называется множество
точек M(x,y,z) пространства, координаты x, y, z которых определяются
из соотношений:
x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v), u, v ∈ D, (4.68)
где x (u, v), y (u, v), z (u, v) – гладкие функции своих аргументов, причем
выполнено соотношение:
(,) (,) (,)
rang 2;
(,) (,) (,)
UU U
VV V
XUV YUV ZUV
XUV YUV ZUV
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
D – некоторая область на плоскости параметров u и v.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- …
- следующая ›
- последняя »
