Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. Сольницев Р.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16
лений, лежащих в основе многих систем, затрудняет построение каких-
либо общих их ММ. Поэтому рассмотрим некоторые типовые ММ, со-
ответствующие частным случаям обобщенного дифференциального
уравнения в частных производных второго порядка –
222
22
() (,) 2(,) (,) 2(,)
2(, ) (, ) (, ),
∂∂∂∂
=+ +++
∂∂ ∂
∂∂
∂
++=
∂
uuuu
Lu ax y bx y cx y d x y
xy x
xy
u
exy qxyu f xy
y
(1.25)
где a(x,y), b(x.y), c(x,y), d(x,y), e(x,y), q(x,y) – коэффициенты; f(x,y) – сво-
бодный член уравнения. Эти функции от независимых переменных x, y
заданы в области D, ограниченной контуром Г; u – искомая функция,
которая может быть напряжением механического элемента, потоком газа
или жидкости в пневматическом и гидравлическом элементах системы.
Уравнение (1.25) называют эллиптическим, параболическим или гипер-
болическим в зависимости от условий R(x,y) < 0, R(x,y) = 0, R(x,y) > 0
для всех x,y ∈ D. При этом R(x,y) = b
2
(x,y)–a(x,y)c(x,y). В зависимости от
типа уравнений задаются начальные и граничные условия, связанные с
этими типами уравнений.
Так, эллиптическое уравнение (уравнение Пуассона) имеет вид
22
22
1
(, );
:(,),
∂∂
+=
∂∂
Γ=Φ
uu
f
x
y
xy
uxy
(1.26)
при граничных условиях Г может быть ММ механического вала. По
этой модели определяется функция u(x,y), задающая моменты упругих
сил, которые в дальнейшем учитываются в уравнении (1.1) – динамики
всей системы в целом.
Параболическое уравнение в простейшем случае имеет вид
22
22
2
(, );
:(,).
∂∂
=+
∂∂
Γ=Φ
uu
fxy
xy
uxy
(1.27)
Этот тип уравнений применяется при расчетах распространения тепла
в одномерных элементах. При этом требуется найти u(x,t) – температу-
ру в зависимости от расположения источника тепла f(x,y) по отноше-
нию к измеряемой точке по оси x в заданные моменты времени t.

Страницы