Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. Сольницев Р.И - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

58
Матрица системы не вырождена – detA = 1, а заданная система име-
ет единственное решение:
x = (0,0,0, ..., 1)
T
.
Теперь рассмотрим погрешность вычислений при выполнении об-
ратного хода метода Гаусса. Считаем, что данные задаются без погреш-
ностей, кроме одного – x
n
. Допустим, что x
n
имеет погрешность ε, т. е.
вместо x
n
= 1 получено
n
x
= x
n
+ r
n
= 1+ ε, где ε мало по сравнению с
единицей. Тогда вместо решения x исходной системы Ax = b будет по-
лучено решение
x
= x + r,
где r = (r
1
,r
2
, ..., r
n
) – вектор погрешности. При этом вектор погрешности
12
2
... 0,
... 0,
......................
n
n
n
rr r
rr
r
−−−=
−−=
=ε
удовлетворяет этой системе уравнений.
Решение полученной системы будет удовлетворять системе уравнений:
r
n
= ε, r
n–1
= ε, r
n–2
= 2ε, ..., r
1
= 2
n–2
ε.
Если n = 102, то γ(A) = 2
n–2
=
2
100
>10
30
. Предположим, что ошибка
достаточно мала ε
= 10
–15
. Погрешность найденного решения стано-
вится весьма большой, r >10
15
. Такое явление соответствует поведе-
нию системы с плохо обусловленной матрицей.
Для оценки обусловленности матриц используют ряд соотношений.
Рассмотрим одно из них. Пусть известна СЛАУ с невырожденной мат-
рицей:
Ax = b, detA ≠ 0, b ≠ 0. (2.19)
Эта система имеет единственное решение. На практике при приме-
нении любого метода, в том числе метода Гаусса, вычисления проводят
с округлением. Погрешность вычислений r можно интерпретировать
как погрешность вычисления правых частей
ηη
ηη
η. Тогда с учетом погреш-
ностей будем рассматривать систему уравнений:
A(x + r) = b +
ηη
ηη
η,

Страницы