Составители:
71
Методы этого класса являются устойчивыми и не имеют ограниче-
ний на величину шага дискретности. Шаг дискретности может выби-
раться сообразно с требуемой длительностью решения.
Пример 2.6
Численное интегрирование уравнения
Применим неявный метод Эйлера для численного интегрирования
уравнения в предыдущем примере. Неявный метод Эйлера имеет вид
()
11
,.
kk k
yyhfyt
++
=+
Применительно к уравнению ( 2.33) при k = n получим:
()
4
11
10 ,
hn
nn n
yyh ye
−
++
=+− +
или
()
()
()
1
4
0
1
1
4
1
110 .
110
n
i
ih
n
n
i
y
yhhe
h
−
+
+
=
=++
+
∑
(2.36)
В этом уравнении условие устойчивости вычислительного процесса
|1+h·10
4
| >1 не накладывает никаких ограничений на выбор шага h. Однако
точность воспроизведения истинного решения уравнения (2.33) при боль-
шом шаге h оказывается низкой, что легко проверить, сопоставив первый
член уравнения (2.36) с истинным решением уравнения (2.33).
При реализации неявных методов на каждом шаге необходимо ре-
шать нелинейные уравнения типа (2.35), что вызывает значительные
осложнения и является недостатком этих методов. Поэтому примене-
ние неявных методов сочетают со специальными методами решения
нелинейных уравнений на каждом шаге.
Так, неявный метод Эйлера с модификацией его по формуле Ньюто-
на примет вид
() ()
1
11
1, ,.
j j jj jj
f
yy hyt hfyt
y
−
++
⎡⎤
∂
⎡⎤
=+− −
⎢⎥
⎣⎦
∂
⎣⎦
Напомним, что формула Ньютона для решения уравнения ϕ(y) = 0
имеет вид
()
1
1
.
k
kk k
y
d
yy y
dy
−
+
⎛⎞
ϕ
−= ϕ
⎜⎟
⎝⎠
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
