Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. Сольницев Р.И - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

73
Применение неявных методов показывает их преимущества над яв-
ными в смысле устойчивости вычислительного процесса при увеличе-
нии шага, однако точность получения решений существенно зависит
от точности решения нелинейных алгебраических уравнений (2.35).
Причем, если в явных методах выбором шага по h удается получить,
хотя и с погрешностью, решение качественно верное, то в неявных при
неправильном выборе шага можно получить устойчивые решения, но
качественно отличные от искомого. Значительные увеличения шага при
решении задач неявными методами оказываются ограниченными из-за
резкого снижения точности. Практически удается увеличить шаг не бо-
лее чем в 5–10 раз.
В [3] приведено разностное уравнение, заменяющее исходное (2.25)
и являющееся обобщенной формулой методов численного интегриро-
вания, распространенных в вычислительной практике:
()
0
,0.
r
knk k nk mk
n
a z hb f t z
+++
=
−=
⎡⎤
⎣⎦
∑
(2.38)
Из этой формулы в зависимости от вида f и значений параметров
a
k
, b
k
, r как частные случаи получаются классические методы (2.28),
(2.35) и разработанные специально для ЭВМ в современной их клас-
сификации. Так, если r = 1, то из (2.38) получаются одношаговые
методы (см., например, формулы Рунге – Кутты), если r > 1 – много-
шаговые (см. (2.35)), если b
r
= 0, то получаем явные методы (2.32);
если b
2
≠ 0 – неявные (2.35). В последнее время разработан ряд вы-
числительных процедур на основе явных и неявных методов числен-
ного интегрирования.
Эффективное применение неявные методы и алгоритмы нашли в
процедуре, предложенной Гиром. В процедуре Гира применяются мето-
ды (2.35), (2.37). Однако это не исключает возможности применения и
других численных методов. Неявный характер употребляемых в проце-
дуре Гира методов предполагает решение на каждом шаге системы ал-
гебраических уравнений, для чего предусматривается использование трех
модификаций итерационного метода Ньютона.
Для этого алгоритмы (2.35) представляются в виде
12
00
,
kk
njnj j
nj
jj
yyhy
−
−
==
=α + β
∑∑
(2.39)

Страницы