Составители:
75
Все рассмотренные методы являются скалярными, т. е. для каждого
уравнения системы (2.1) составляется соответствующее разностное
уравнение. Поэтому они обладают присущими скалярным методам не-
достатками при применении их к системам большой размерности. Ка-
чественно новым является создание системных (матричных) методов,
которые позволяют учитывать свойства правой части системы (1.3) и
обеспечивают независимость выбора шага от устойчивости вычисли-
тельного процесса.
Системные методы численного интегрирования были предложены
Ю. В. Ракитским. Эти методы являются весьма эффективными для при-
менения в ИНТЕХ.
Системные методы строятся на основе тождества
()()
() ()
1
11
1
00
[( ) ]() |
0,
k
k
kk k ktt
H
kk
tt
d
tt td t
dt
dY
ttd
dt
−
++=
τ
−
−
ϕ
ϕ
−
ϕ
−
ϕ
−τ τ+ +
ϕ
+
⎡⎤
+ϕ = ϕ +τ τ+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
C
эквивалентного системе уравнений
()
,.Yt=YF
(2.39')
Здесь в дополнение к уже перечисленным в подразд. 2.1 приняты
следующие обозначения: H – шаг численного интегрирования по пере-
менной t; t
k
= t
0
– kh, n – целое число; ϕ(t
k
– τ) = |ϕ
ij
(t
k
– τ)| – квадратная
неособенная матрица порядка n, непрерывная и имеющая непрерывную
первую производную по τ; τ – переменная интегрирования 0 ≤ τ ≤ h; С –
матрица порядка n, не зависящая от τ.
Выбор матриц ϕ(t
k
– τ) и С приводит к «классическим» и новым
системным методам. Так, при ϕ(t
k
– τ) = E и С = 0 получается метод
Эйлера
()
1
,,
k
kkk
YYHfYt
+
=+
где
k
Y
– приближенное решение (2.1).
Если ϕ(t
k
– τ) выбрать в виде exp(A(t
k
– τ)), где А – постоянная квад-
ратная матрица порядка n, то получим метод
()
1
1
0
,,
A
kk
nk
dYt
τ
+
⎡⎤
=+ τ
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫
YY e F
(2.40)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
