Составители:
91
ет стандартным видам уравнений, разрабатываются специализирован-
ные методы решений, использующие специфику таких матричных сис-
тем. К числу этих методов относится метод прогонки.
Рассмотрим метод прогонки применительно к трехдиагональной мат-
рице
11 21
11
21 22 23
22
32 33 34
1
0 0 ... 0
0 ... 0
0 ... 0 .
... ...
0 ... ... ... ... 0
0 ... ... ...
nn
nnnn
aa
xb
aaa
xb
aaa
xb
aa
−
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⋅=
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
(3.15)
Квадратная матрица называется k-диагональной, если ее элементы a
ij
= 0
удовлетворяют условию: |i – j|>(k – 1)/2 (k – целое, нечетное число):
11 1 1
22 2 2 2
33 3 3
44 4 4
22 2 2 2
11 1 1 1
0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0
00
00
nn n n n
nn n n n
nn n n
cb x f
ac b x f
ac b f
ac b f
ac b x f
ac b x f
ac x f
−− − − −
−− − − −
−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⋅=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−
⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.
⎥
(3.16)
На практике размерность матрицы (3.16) может быть велика. Трех-
диагональная структура (элементы С
i
– главная диагональ, b
i
– над диа-
гональю, a
i
– под диагональю) позволяет организовать экономичный
прямой метод по вычислению x
i
(метод прогонки опирается на идею
метода Гаусса, имеет место прямой и обратный ход).
Прямой ход:
1. Исключаем неизвестные x
1
из всех уравнений кроме первого. Раз-
делим на с
1
введем обозначения:
1
2
1
b
c
α=
,
1
2
1
f
c
β=
и исключим из второ-
го уравнения x
1
. Для этого сложим второе уравнение с первым и умно-
жим на коэффициент
22
a
α
.
Рассмотрим первое и второе уравнение, после чего первое разделим
на x
1
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
