ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
где
Ω
– множество всех исходов, A ∈ Ω.
Пример 1.7. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на рас-
стоянии 2a. На плоскость наугад бросают иглу длиной 2l
(l < a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь
прямую.
Рис. 1.2.
Решение.
Пусть x – расстояние от центра K иглы до ближайшей прямой (рис. 1.2.), ϕ – угол, составленный иглой с этой прямой.
Множество всех возможных положений иглы, т.е. совокупность Ω элементарных исходов – это прямоугольник
(
){}
π0,0:,
≤
ϕ
≤
≤
≤
ϕ
=Ω axx .
Совокупность благоприятствующих положений иглы образует множество
()
(
){}
Ω
∈
ϕ
ϕ
≤
ϕ
= ,,sin:, xlxxC .
Тогда по геометрическому определению вероятности
()
()
()
π
2
π
sin
0
a
l
a
dl
m
Cm
AP =
ϕϕ
=
Ω
=
∫
π
.
Полученный результат интересен прежде всего тем, что позволяет экспериментально определить число
π
. Действи-
тельно, если принять
()
n
m
AP ≈ ,
где
n
m
– относительная частота пересечений, то
ma
nl2
≈π
.
Такие эксперименты проводились многократно [10].
Являясь обобщением вышерассмотренных схем, схема с более чем счетным множеством исходов позволяет рассматри-
вать самые разные эксперименты:
1.
В случае равновозможных исходов можно считать, что опыт состоит в случайном бросании точки на отрезок, разби-
тый на n интервалов одинаковой длины.
2.
В случае конечного числа неравновозможных исходов – на n интервалов, соответствующих их вероятностям длины.
3.
В случае счетного числа исходов – на счетное число подынтервалов бесконечно убывающей длины, таких что их
объединение составляет весь отрезок Ω.
Можно предложить и многомерные аналоги, но в этом нет необходимости.
Последние соображения делают, и без того достаточно понятную, аналогию между случайными событиями и геометри-
ческими множествами полностью обоснованной.
1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Оказывается, часто удается находить вероятности событий, являющихся результатом действия над другими событиями
и без знания конкретного множества исходов, благоприятствующих событиям-операндам.
Определение 1.21. События A и B называют несовместными, если наступление одного из них исключает наступление
другого.
Несовместность означает, что события не имеют общих благоприятствующих исходов, или, обращаясь к геометриче-
ским иллюстрациям, – соответствующие им подмножества не пересекаются.
Теорема 1.2. (Теорема сложения вероятностей). Если A и B являются несовместными, то
P(A + B) = P(A) + P(B).
Доказательство. Если использовать геометрическое определение вероятности, то это и последующее утверждение вы-
глядят очевидным.
Следствие 1.1. Если A и B любые случайные события, связанные с общим вероятностным экспериментом, то
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
