Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Введем следующее весьма важное понятие.
Определение 1.22. События A и B называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность
появления другого.
Можно приводить многочисленные реальные примеры, как зависимых, так и независимых случайных событий.
Фактически целесообразнее считать, что независимыми могут быть лишь события, появление которых рассматривается
в ходе различных, независимых опытов (хотя формально это и необязательно). Эти опыты, или испытания, могут быть как
совершенно различной природы и содержания, так и в принципе одинаковыми, только независимо проводящимися. Напри-
мер, два бросания игрального кубика – независимые опыты.
Теорема 1.3. (Теорема умножения вероятностей). Пусть A и B независимы, тогда
P(AB) = P(A)P(B).
Доказательство. Опять рассмотрим наиболее общую схему с несчетным множеством исходов. Для простоты геометри-
ческой иллюстрации будем считать, что эксперименты, с которыми связаны события A и B, соответствуют случайному бро-
санию точки на одномерные отрезки
1
Ω и
2
Ω соответственно. При этом A состоит в попадании точки на интервал
[]
121
, Ω∈aa , а B – на интервал
[]
221
, Ω∈bb (рис. 1.3.). Тогда, очевидно, можно перейти от пары этих экспериментов к еди-
ному опыту, состоящему в случайном бросании точки на двухмерное множество
Ω
, подмножество C которого соответст-
вует произведению A и B.
Рис. 1.3.
Далее, по геометрическому определению вероятности, имеем
()
()
()
()
()
(
)
(
)
()()
(
)
()
(
)
()
() ()
BPAP
l
aal
l
aal
ll
aalaal
S
CS
m
Cm
ABP ⋅=
Ω
⋅
Ω
=
Ω⋅Ω
⋅
=
Ω
=
Ω
=
2
21
1
21
21
2121
,,,,
,
что и требовалось доказать.
1.7. Формулы условной вероятности, полной вероятности
и формула Байеса
Пусть события A и B связаны с общим вероятностным опытом, и имеют общие благоприятствующие исходы. Тогда, ес-
ли известно, что в результате опыта произошло событие B, то имеется вероятность, что произошло и A. Эта вероятность на-
зывается условной вероятностью события A при условии, что произошло B, и обычно обозначается
(
)
AP
B
или
(
)
BAP / .
Bыведем формулу для расчета
()
AP
B
.
Итак, пусть известно, что событие B произошло. Тогда новой совокупностью возможных элементарных исходов явля-
ются лишь исходы, благоприятствующие B, т.е. B – достоверное событие. За исходы, благоприятствующие A, следует счи-
тать лишь те исходы, которые являются общими с B, т.е. составляют множество
B
A
∩
.
Тогда, в соответствии с наиболее общей схемой с несчетным числом исходов и геометрическим определением вероят-
ности получаем формулу
P(A/B) =
()
)(
)(
BP
BAP
AP
B
∩
=
,
которая и называется формулой условной вероятности.
Определение 1.23.
Говорят, что случайные события A
1
, A
2
, …, A
n
, связанные с общим вероятностным экспериментом,
образуют полную группу событий, если
1.
jiAA
ji
≠∅=∩ ,
.
2.
Ω=
=
U
n
i
i
A
1
.

Страницы