Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, строго говоря, случайными событиями в любом эксперименте допустимо считать не любое подмноже-
ство, принадлежащее
Ω , а лишь элементы некоторой определенной нами σ-алгебры его подмножеств. Это существенное
замечание.
Пусть на элементах F определена функция P(·), обладающая свойствами:
P
1
) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F;
P
2
) P(Ω) = 1;
P
3
) если A
i
∩ A
j
=∅, i ≠ j, то P(
i
A )
∑
∞
= )(
i
AP .
Такую функцию называют вероятностной мерой, или просто вероятностью.
Утверждение A
1
, A
2
, A
3
, P
1
, P
2
, P
3
составляют, так называемую, систему аксиом теории вероятности, которая была пред-
ложена A.Н. Колмогоровым и оказалась исключительно плодотворной для развития этой науки.
Проиллюстрируем полезность введенного аксиоматического подхода на примере доказательства нескольких простых,
но важных теорем.
Теорема 1.5. Пусть A и B – случайные события, и A ⊂ B. Тогда
P(B – A) = P(B) – P(A).
Доказательство. Поскольку A ⊂ B, то B = A + (B – A), причем
A∩(B – A) = ∅,
тогда по P
3
:
P(B) = P(A) + P(B – A)⇒P(B – A) = P(B) – P(A).
Теорема 1.6. Пусть A и B случайные события, тогда
P(A + B) =P(A) +P(B) – P(AB).
Доказательство. Поскольку A + B = (A – (AB)) + (B – (AB)) + (AB), то по P
3
и предыдущей теореме
P(A + B) = P(A – (AB)) + P(B – (AB)) + P(AB) =
= P(A) – P(AB) +P(B) – P(AB) + P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB).
Последнюю формулу можно обобщить для любого числа событий.
Центральным понятием в теории вероятностей является следующее.
Определение 1.24. Если для некоторого стохастического эксперимента заданы: множество всех его элементарных исхо-
дов Ω, σ-алгебра F подмножеств Ω, а на элементах F определена функция P(·), обладающая свойствами вероятностной меры,
то говорят, что задана вероятностная модель этого эксперимента. Тройку (Ω, F, P) называют вероятностным пространст-
вом.
Для корректного решения практических задач исключительной важностью обладает правильное и четкое определение
всех составляющих указанной тройки. Именно ошибки, возникающие на этом этапе, и являются основной причиной даль-
нейших неправильных расчетов и выводов. Рассматривая конкретную задачу или ситуацию, нужно очень четко выявить все
множество элементарных исходов, установить их вероятности, выяснить, какие события следует считать случайными собы-
тиями данного эксперимента и определить для них функцию вероятности.
1.9. Последовательности испытаний. Схема Бернулли
Рассмотрим следующий вероятностный эксперимент:
1)
последовательно проводится n независимых одинаковых опытов;
2)
в каждом из которых имеется лишь два исхода, которые условно назовем «успех» – 1, и «неудача» – 0;
3)
во всех опытах вероятность «успеха» – p , и, соответственно, «неудачи» – pq
−
=
1 , неизменны.
Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли, она соответствует весьма многим практическим си-
туациям, а именно таким, которые характеризуются «массовостью» явления, что часто встречается в социологии, маркетинге
и т.д.
Ясно, что элементарными исходами, в эксперименте по схеме Бернулли, являются всевозможные комбинации вида
43421
позиций
010...100
−n
.
Множество всех таких исходов состоит из
n
2 элементов.
По теореме умножения вероятностей несложно рассчитать вероятность любого такого исхода, например
(
)
qpqqqpP
⋅
⋅
⋅
⋅
=
...010...100 .
Очевидно, что любой исход, состоящий из m «успехов» и (n–m) «неудач» имеет вероятность
mnm
qp
−
.
А всего таких исходов
m
n
С . Складывая их вероятности, получаем так называемую формулу Бернулли
mnmm
nn
qpСmP
−
=)( ,

Страницы