Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

которая выражает вероятность того, что при n испытаниях «успех» произойдет ровно m раз.
Вспоминая формулу бинома Ньютона устанавливаем справедливость необходимого условия
11)()(
00
==+==
−
==
∑∑
nnmn
n
m
n
m
mm
nn
qpqpCmP .
Пример. Вероятность нормального приживления саженца плодового дерева p = 0,8. Найти вероятности, что:
1) из 10 саженцев приживется ровно 8;
2) не меньше 8.
Решение.
1. Ясно, что приживления отдельных саженцев можно считать независимыми, поэтому ситуация соответствует схеме
Бернулли. Тогда по формуле Бернулли получаем
()
81088
10
2,08,0
−
⋅⋅= СAP .
2. По теореме сложения
()
iPAP
i
∑
=
=
10
8
10
)( .
1.10. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа
При большой величине m и n использование формулы Бернулли становится затруднительным. Это связано с очень
большой скоростью роста функции n!, и даже с помощью ЭBМ при n > 100 факториал рассчитать невозможно. Однако су-
ществуют ориентированные на практические расчеты приближенные формулы.
Теорема 1.7. (Формула Пуассона). Если при неограниченном увеличении числа испытаний n произведение np стремится к
постоянному числу λ, то
()
!
lim
m
e
mP
m
n
n
λ−
∞→
λ
=
.
Доказательство. По формуле Бернулли
(
)
(
)
(
)
()()
K
K
=−−
+
−
−
−
==
−
−
mn
mmnmm
nn
ppp
m
mnnnn
qpСmP 11
!
121
)( ,
или учитывая условие
λ
=
→∞
pn
n
lim
,
при ∞→n , используя второй замечательный предел, имеем
.
!
11
!
1
1
2
1
1
11
m
e
nnmn
m
nn
m
mn
m λ−
−
λ
→
λ
−
λ
−
λ
−
−
−
−=
KK
В доказанном утверждении, строго говоря, не выполняется обязательное для схемы Бернулли условие постоянства ве-
личины p. Однако, на практике и n всегда конечно, поэтому полученное равенство (при достаточно больших n и условии np
≤ 10) используют как дающее приближенный результат. Формула Пуассона эффективна тогда, когда p достаточно мало, если
же это не так, то можно использовать следующую важную формулу.
Теорема 1.8. (Локальная теорема Муавра–Лапласа). Если вероятность p появления «успеха» в каждом из n независи-
мых испытаний постоянна, и отлична от 0 и 1, то:
−
ϕ=
≤
∞→
npq
npm
npq
mР
n
nm
mn
1
)(lim
,
,
где
()
2
2
2
1
x
ex
−
π
=ϕ
.
Функция ϕ (х) называется функцией Лапласа. Таблица ее значений приводится во многих справочниках и учебниках.
При их использовании следует помнить о четности этой функции. Считается, что локальная формула Лапласа дает достаточ-
но хороший результат при npq > 15 – 20.
Вероятность, что из n испытаний по схеме Бернулли «успех» произойдет не менее
1
m раза, и не более
2
m раз, обозна-
чается и равна
.),(
2
1
21
∑
=
−
=
m
mi
inii
nn
qpСmmP

Страницы