Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

И если слагаемых в этой формуле хотя бы несколько десятков, то ее непосредственное использование, очевидно, еще
более затруднительно. Для этого случая имеется следующая теорема.
Теорема 1.9. (Интегральная теорема Муавра–Лапласа). При условиях предыдущей теоремы справедливо равенство
∫
−
∞→
π
=
≤≤≤
2
1
2
21
0
2
21
2
1
),(lim
x
x
z
n
n
dzemmP
nmm
,
где
npq
npm
x
−
=
1
1
,
npq
npm
x
−
=
2
2
.
Доказательства теорем 1.8 и 1.9 достаточно сложны, и поэтому мы не будем на них останавливаться. Эти доказательст-
ва можно прочитать, например, в [10, § 2.6].
Функция
Ф(х)=
∫
−
π
x
z
dze
0
2
2
2
1
называется интегральной функцией Лапласа, ее значения в виде таблиц представлены в справочной литературе. При их ис-
пользовании следует помнить о нечетности этой функции.
Пример. Bероятность того, что деталь проходит проверку контроля качества равна 0,2. Найти вероятность того, что
среди 400 случайно отобранных деталей проверенных окажется от 70 до 100.
Решение. По условию: n = 400; m
1
= 70; m
2
= 100; q = 0,8; p = 0,2. Тогда
х
1= 25,1
8,02,0400
2,040070
−=
⋅⋅
⋅−
, х
2
=2,5.
И используя таблицы получаем
P
400
(70, 100) ≈ Ф(2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25) ≈
≈ 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
Иногда более удобной оказывается другая форма интегральной теоремы.
Теорема 1.10. Если вероятность успеха p в каждом испытании постоянна, то при n→∞,
P{ b
npq
npm
а ≤
−
≤ } →
∫
−
π
b
a
x
dxe
2
2
2
1
,
где m – число «успехов», а и b – любые числа ∈R
1
.
Из последней теоремы вытекает следующая важная формула
εΦ≈
ε≤−=γ
qp
n
p
n
m
P 2
,
которая позволяет решать целый спектр важных задач. Например:
1)
сколько нужно провести испытаний n, чтобы с заданной вероятностью γ, можно было быть уверенным, что наблюдаемая
частота
n
m
интересующего нас события отклонится от его истинной вероятности p не больше чем на ε;
2)
с какой вероятностью γ, при определенном количестве экспериментов n, частота
n
m
отклоняется не больше чем на ε от
p.
Вопросы для самопроверки
1. Какие схемы проведения вероятностного эксперимента вы знаете? Приведите примеры соответствующих ситуаций.
2.
В чем ограниченность классического определения вероятности?
3.
Что такое благоприятствующий исход?
4.
Зачем нужно статистическое определение вероятности?
5.
Что такое условная вероятность?
6.
Приведите пример полной группы случайных событий.
7.
Что такое вероятностное пространство?
8.
Приведите пример вероятностного эксперимента, соответствующего схеме Бернулли? Схеме с несчетным множест-
вом исходов?
9.
Может ли локальная формула Лапласса заменить формулу Пуассона?
10.
В чем состоит несоответствие условий теоремы Пуассона схеме Бернулли?

Страницы