Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
2.1. Определение случайной величины.
Задание дискретной случайной величины
Определение 1.25. Случайной величиной (с.в.) называется функция X(w), определенная на некотором множестве элемен-
тарных событий Ω.
Если Ω конечно, или счетно, то на функцию X(w) не накладывается никаких ограничений, т.е. это может быть любая
функция. Если Ω континиум, то X(w) должна быть такой, что для любого события вида A = {w: X(w)
≤ x
0
}, где x
0
– любое
число ∈ R
1
, могла быть определена его вероятность P(A) = P{x < x
0
}. Следует отметить, что при изучении с.в. и их свойств
почти никогда не вспоминают об области их определения, т.е. о Ω [1, 3, 4].
Все встречающиеся в природе процессы и объекты так или иначе характеризуются численными значениями своих па-
раметров. Причем по целому ряду причин эти значения должны рассматриваться нами как случайные. Поэтому понятие с.в.
имеет очень большую практическую значимость. Примеров с.в. можно привести бесконечное количество – это и температу-
ра воздуха на завтра, и курс доллара на банковских торгах, и количество покупателей в магазине, и масса, даже стандартно
упакованного, пакета некоторого продукта, и т.д. Фактически теория с.в. составляет бóльшую часть содержания теории ве-
роятностей, и всю математическую статистику.
Определение 1.26. Конкретные значения, которые принимала с.в. в ходе соответствующих экспериментов или наблю-
дений, называются реализациями данной с.в.
Например, X– курс доллара на торгах ММВБ, это с.в. А, 37,26
1
=
x – курс 10 августа, 64,26
2
=x – 5 сентября, – это
реализации данной с.в.
Чаще всего с.в. обозначаются заглавными латинскими буквами, например, X, Y, Z, аргумент при этом обычно опускают.
А их реализации – соответствующими строчными буквами – x, y, z, и т.д.
Определение 1.27. Говорят, что с.в. X задана, или задан ее закон распределения, если для любого измеримого множест-
ва B∈R
1
определена вероятность
P{x
∈
B},
т.е. вероятность того, что при очередном эксперименте реализация x окажется лежащей в этом множестве.
Определение 1.28. С.в. X называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно, или счетно.
Если с.в. X имеет конечное количество возможных значений, то задать ее можно простым перечислением этих значений
nix
i
,1, = , и их соответствующих вероятностей
i
p ,
{
}
ii
pxXP
=
=
.
Из теорем теории вероятностей ясно, что при этом должно выполняться условие
∑
=
=
n
i
i
p
1
1 .
Такое перечисление обычно записывают в виде таблицы (табл. 1.1), которую называют рядом распределения данной с.в.
Таблица 1.1
x
i
x
1
x
2
x
3
… x
n
p
i
p
1
p
2
p
3
… p
n
Пример. Пусть
X
– с.в. числа очков, выпадающих на игральном кубике. Ясно, что это дискретная с.в., а ее ряд распре-
деления имеет вид, указанный в табл. 1.2.
Таблица 1.2
x
i
1 2 3 … 6
p
i
61 61 61
…
61
Если с.в. имеет счетное количество возможных значений, то ее задают с помощью формульного описания этих значе-
ний и их вероятностей. При этом, формульные выражения зависят от
i , т.е. номера значения
(){}()
.,1, ∞=== iipixXP
ii
При этом должно выполняться
∑
∞
=
=
1
1
i
i
p .

Страницы