Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Пусть
X
– с.в. числа бросаний монеты до первого выпадания орла. Ясно, что эта с.в. имеет счетное количество
возможных значений, и
{}
.,1,
2
1
∞=== iiXP
i
Следует отметить, что реальных примеров счетных с.в. не очень много.
2.2. Непрерывная с.в. Функция распределения
Определение 1.29. С.в. называется непрерывной, если область ее возможных значений имеет более чем счетную мощ-
ность, т.е. включает хотя бы один непрерывный интервал числовой оси.
На практике как правило встречаются непрерывные с.в. Непрерывными считают даже денежные суммы, человеческие
ресурсы, и т.д. Тем более таковыми являются различные физические величины, или относительные экономические показате-
ли, и т.д.
Ясно, что задать непрерывную с.в. простым перечислением ее значений и их вероятностей невозможно.
Оказывается, что любое измеримое множество числовой оси можно представить в виде не более чем счетного объеди-
нения непересекающихся интервалов вида
[]
ba; , ];( ba , );[ ba ,
(
)
ba; ,
или их дополнений. Такие интервалы называют простыми множествами. Поэтому достаточно определить вероятность попа-
дания реализации некоторой с.в. в любой такой интервал, и тогда, на основании теоремы сложения вероятностей, эта с.в. будет
задана. Рассмотрим, как это можно сделать.
Определение 1.30. Функцией распределения с.в.
X
называется такая функция
(
)
tF
X
, что
1
Rt ∈∀ выполняется
{
}
(
)
tFtxP
X
=
≤
.
Покажем, что с помощью функции распределения можно определить вероятность попадания реализации с.в. в любое
простое множество:
1)
для ];( ba это почти очевидно, так как по теореме 1.5
{}
{
}
{
}
axPbxPbxaP
≤
−
≤
=
≤
< ,
тогда
{}
(
)
(
)
aFbFbxaP
XX
−
=
≤
<
;
2) для
[]
ba; . Пусть
{}
i
t – некоторая числовая последовательность, стремящаяся к a слева, т.е. это последовательность
чисел меньших a , и таких что
at
i
i
=
→∞
lim
,
но тогда и для последовательности интервалов справедливо
[
]
babt
i
,],( → ,
а тем самым
{}
(
)
(
)
iX
i
X
tFbFbxaP
∞→
−
=
≤
≤
lim
,
если только соответствующий предел слева функции
(
)
tF
X
существует. Но для большинства реальных с.в. это выполняется;
3)
аналогично и для );[ ba ,
()
ba; .
Таким образом функция распределения полностью задает любую, в том числе и непрерывную, с.в.
Пример.
1. Для дискретной с.в., имеющей ряд распределения
x
i
x
1
x
2
x
3
… x
n
p
i
p
1
p
2
p
3
… p
n
Ее функция распределения имеет кусочно-постоянный, ступенчатый вид (рис. 2.1). Ясно, что задавать дискретную с.в. с по-
мощью функции распределения смысла нет;
2. Для так называемой равномерно распределенной, на отрезке
[]
1
, Rba ∈ , с.в., функция распределения задается сле-
дующим кусочно-аналитическим выражением

Страницы