Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
>
≤≤
−
−
<
=
.при,1
;при,
;при,0
bt
bta
ab
at
at
tF
X
Рис. 2.1.
Определение 1.31. С.в. называется абсолютно непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей число-
вой оси.
Множеством возможных значений абсолютно непрерывной с.в., обычно является один единственный непрерывный ин-
тервал числовой оси, быть может с бесконечными границами. Большинство встречающихся на практике с.в. являются абсо-
лютно непрерывными, поэтому в дальнейшем, говоря «непрерывная с.в.» , мы будем подразумевать абсолютно непрерывную
с.в.
Достаточно очевидны следующие важные свойства функции распределения.
Свойства функции распределения:
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1, для
1
Rx ∈∀ ;
2)
F(х) – неубывающая функция;
3)
F(x)
→
0, при x
−∞→
; F(x)
→
1, при x +∞→ .
2.3. Функция плотности распределения с.в.
Следующее понятие является чрезвычайно важным.
Определение 1.32. Функция P(x) называется функцией плотности распределения с.в.
X
(или просто плотностью), если
для любого
1
],( Rba ∈
выполняется
∫
=∈
b
a
dxxPbaxP )(]},({ .
Ясно, что плотность тоже полностью задает с.в.
Из сказанного выше следует
() ()
aFbFbaxPdxxP
XX
b
a
−=∈=
∫
]},({)(
,
т.е. функция распределения является первообразной для плотности, т.е.
()
)(xPxF
=
′
,
()
∫
∞−
=
x
dttPxF )(
.
Таким образом, зная плотность всегда можно найти функцию распределения, и наоборот. Однако, на практике для задания
с.в. почти всегда используется плотность. Это связано со следующим обстоятельством.
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла (рис. 2.2), а именно, что он численно равен площади криво-
линейной трапеции, ограниченной соответствующим участком графика функции на интервале интегрирования и самим этим
интервалом.
Рис. 2.2.

Страницы