Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.4. Математическое ожидание с.в.
Определение 1.33.
Любая числовая величина, так или иначе характеризующая закон распределения некоторой с.в., на-
зывается параметром этого распределения.
Из бесконечного количества всевозможных параметров, важнейшее значение имеют два: математическое ожидание и
дисперсия с.в.
Определение 1.34. Математическим ожиданием дискретной с.в.
X
, имеющей ряд распределения
x
i
x
1
x
2
x
3
… x
n
p
i
p
1
p
2
p
3
… p
n
называется число
i
n
i
i
pxxM
∑
=
=
1
)( .
Таким образом, математическое ожидание – это взвешенная сумма возможных значений с.в. с учетом их вероятностей.
Математическое ожидание выражает, таким образом, некоторое «среднее» значение с.в. с учетом вероятностей всех ее воз-
можных значений. Ясно, что это весьма важный параметр.
Часто математическое ожидание, так и называют – среднее значение с.в.
Пример. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих на кубике.
Решение. Ряд распределения этой с.в. приводился выше. Получаем
5,3
2
7
21
6
1
6
1
)(
6
1
==⋅==
∑
=i
ixM .
Этот пример показывает, что математическое ожидание дискретной с.в. может не совпадать ни с одним из ее возмож-
ных значений.
Определение 1.35. Математическим ожиданием непрерывной с.в., имеющей плотность распределения P(х), называют
число
∫
∞
∞−
= dxxPxxM )()( .
Пример.
1. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке
[]
1
, Rba ∈ с.в.
В соответствии с определением, имеем
() ()
222
0
1
0)(
222
ba
ab
ab
a
b
ab
x
dxxdx
ab
xdxxXM
b
b
a
a
+
=
−
−
=
−
=+
−
+=
∫∫∫
∞
∞−
.
Исходя из графика равномерной плотности этот результат можно считать вполне ожидаемым.
2. Для нормально распределенной с.в., можно доказать, что
aXM
=
)( ,
что также вполне согласуется с приведенным выше графиком нормальной плотности (рис. 2.4).
Свойства математического ожидания:
1. ccM =)( , где с – любая константа;
2.
)()( XMcXcM ⋅=⋅ , где
X
– любая с.в.;
3.
)()()( YMXMYXM +=+ , где
X
,
Y
– любые с.в.;
Доказательство. Пусть имеется две дискретные с.в.
{}
,,1,: nipxXPX
ii
=== и
{
}
mjqyYPY
jj
,1,: === .
Тогда, используя формулы условной и полной вероятностей, имеем
(){ }
()
{}
{}
====+=
===+=+
∑∑
∑∑
==
==
n
i
m
j
ijiji
n
i
m
j
jiji
xXyYPxXPyx
yYxXPyxYXM
11
11
\
,)(

Страницы