Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

{}{}
===+===
∑∑∑∑
====
n
i
m
j
ijj
n
i
m
j
ijii
xXyYPyxXyYPpx
1111
\\
{}{}
===+===
∑∑∑∑
====
m
j
n
i
ijj
n
i
m
j
ijii
xXyYPyxXyYPpx
1111
\\
).()(1
11
YMXMqypx
m
j
jj
n
i
ii
+=+=
∑∑
==
Для непрерывных с.в. доказательство можно построить аналогично, используя переход от интегралов к пределам интеграль-
ных сумм, и наоборот.
4. )()()( YMXMYXM = , где
X
,
Y
– любые независимые с.в. (см. п. 2.6).
2.5. Дисперсия случайных величин
Определение 1.36. Дисперсией с.в. X называется число
D(X) = M(X – M(X))
2
,
т.е. математическое ожидание случайного квадрата отклонения значений с.в. от ее математического ожидания.
Рис. 2.6.
Таким образом, дисперсия характеризует величину разброса возможных значений с.в. вокруг ее среднего значения. Яс-
но, что это тоже очень важный параметр.
На рис. 2.6 приведены графики плотностей двух с.в., с одинаковым математическим ожиданием, но различными дис-
персиями. Не сложно понять, у какой из с.в. дисперсия больше.
Используя свойства математического ожидания, легко доказать следующую, более удобную для практических расчетов,
формулу дисперсии
D(x) = M(x
2
– 2xM(x) + M
2
(x)) = M(x
2
) – 2M(x)M(x) + M
2
(x) =M(x
2
) – M
2
(x),
т.е.
M(x
2
) =
∑
=
n
i
ii
Pх
1
2
– для дискретной с.в.,
M(x
2
) =
∫
∞
∞−
dxxPx )(
2
– для непрерывной с.в.
Дисперсия, по сути, является квадратическим показателем. Иногда более удобно использовать аналогичный линейный
параметр, называемый среднеквадратическим отклонением с.в.
()
XD
X
=σ .
Пример.
1. Найти дисперсию равномерно распределенной на отрезке
[]
1
, Rba ∈ с.в.
Находим сначала
()
.
33
1
)(
223
22
baba
a
b
ab
x
dx
ab
xXM
b
a
++
=
−
=
−
=
∫
Окончательно получаем

Страницы