Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.7.
2.7. Неравенство Чебышева
Для решения различных задач и доказательства теорем необходимыми оказываются следующие утверждения.
Лемма (Маркова). Если с.в. X может принимать только неотрицательные значения, то для любого 0>t выполняется
t
XM
txP
)(
}{ ≤>
.
Доказательство. Имеем
() () () ()
t
XM
dxxPxtdxxP
t
x
dxxP
x
x
dxxPtxP
ttt
)(
}{
0
∫∫∫∫
∞∞∞∞
=⋅⋅≤⋅≤⋅==> .
Следствие. В условиях предыдущего утверждения
{}
t
XM
txP
)(
1−>≤
.
Теорема 2.1. (Неравенство Чебышева). Для любой с.в. X выполняется
(){}
2
)(
ε
≤ε>−
XD
XMxP
,
где 0>ε – любое число.
Доказательство. Достаточно применить лемму Маркова к неотрицательной с.в.
()()
2
XMXZ −= .
Следствие. Для любой с.в. X выполняется
(){}
2
)(
1
ε
−>ε≤−
xD
XMxP
,
где 0>ε – любое число.
2.7. Закон больших чисел
Из неравенства Чебышева вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.2. (Закон больших чисел в форме Чебышева).
Пусть
i
X – независимые с.в., такие, что
() ()
niCXDaXM
iii
,1,, =≤= .
Тогда
1lim
11
=
ε≤−
∑∑
==
∞→
n
a
n
x
P
n
i
i
n
i
i
n
,
0>ε∀
.
Доказательство. Рассмотрим с.в.
60
40
20
–20
–40
–
60
–
10 5 0 5 10
Нелинейная составляющая
Линейная составляющая
Зависимость

Страницы