Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

n
X
X
n
i
i
∑
=
=
1
,
из свойств математического ожидания и дисперсии
()
n
a
XM
n
i
i
∑
=
=
1
,
()
()
n
C
n
XD
n
X
DXD
n
i
i
n
i
i
≤=
=
∑∑
==
2
11
.
Применяя к
X
следствие неравенства Чебышева
(){}
11
2
→
ε
−>ε≤−
n
C
XMXP ,
при
∞→n
. Откуда и получаем утверждение теоремы.
Следствие. (Закон больших чисел для одинаково распределенных с.в.).
Пусть
i
X – независимые с.в., такие, что
() ()
niXDaXM
ii
,1,,
2
=σ== .
Тогда
1lim
1
=
ε≤−
∑
=
∞→
a
n
x
P
n
i
i
n
,
0>ε∀
.
Рассмотренные утверждения являются весьма важными как теоретически, так и практически. Они устанавливают так
называемый закон статистической устойчивости для значений с.в., а именно, хотя каждое из слагаемых является случай-
ным, их среднее значение тем более неслучайно, чем больше этих слагаемых, т.е., при достаточно большом количестве на-
блюдений в случайности всегда будет прослеживаться закономерность. Тем самым, например, эти утверждения обосновы-
вают возможность применения анализа статистик при принятии конкретных управленческих решений.
Также важным является следующий частный случай, который, помимо прочего, обосновывает статистическое опреде-
ление вероятности.
Теорема 2.3.
(Закон больших чисел в форме Бернулли). Для схемы Бернулли
1lim =
ε≤−
∞→
p
n
m
P
n
,
0>
ε
∀
.
Данное утверждение вытекает и из формулы, рассматривавшейся в п. 1.10. Говорят, что теорема 2.3 устанавливает
статистическую устойчивость вероятности события.
2.8. Центральная предельная теорема
Хорошо известно, что большинство встречающихся в природе с.в. имеют распределение, по крайней мере, очень близ-
кое к нормальному. Теоретическое объяснение этому факту дает следующая очень важная теорема [7].
Теорема 2.4. (Центральная предельная или теорема Ляпунова).
Пусть
n
XXX ...,,,
21
– независимые с.в., имеющие какие угодно распределения, с параметрами
() () ()()
niCXMXMXDaXM
iiiii
,1,,,
3
2
==−σ== ,
и если
0
...
...
lim
22
1
3
21
=
σ++σ
+++
∞→
n
n
n
CCC
,
тогда
dzet
aX
P
t
t
n
i
i
n
i
n
i
ii
∫
∑
∑∑
∞−
−
=
==
π
→
<
σ
−
2
1
2
11
2
2
1
,
т.е. закон распределения с.в.

Страницы