Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
=
=
n
i
in
XY
1
,
при n→∞, асимптотически приближается к нормальному, с параметрами
∑
=
=
n
i
in
aYM
1
)( ,
∑
=
σ=
n
i
in
YD
1
2
)( .
Доказательство этой теоремы достаточно сложно, и поэтому мы его рассматривать не будем.
Проще говоря, утверждение теоремы состоит в том, что если на некоторую с.в. влияет большое количество других не-
зависимых с.в., то ее распределение будет близко к нормальному. Но в природе так и бывает, на большинство процессов и
объектов оказывает влияние большое количество разнообразных случайных факторов, и поэтому параметры этих процессов
и оказываются случайными, и имеющими почти нормальное распределение. Хотя необходимо отметить, что все же так бы-
вает не всегда. И поэтому часто возникает необходимость проверки, можно ли считать ту или иную с.в. нормально распре-
деленной или нет?
Забегая вперед укажем, что вся классическая теория математической статистики строится только для нормальных с.в., и
при этом считается применимой почти всегда, именно в силу центральной предельной теоремы.
Пример. B кассе учреждения имеется сумма d = 3500 р., в очереди стоит n = 20 человек, сумма
i
X , которую нужно вы-
платить отдельному человеку, является с.в. со средним значением 150 р. и
60
=
σ
X
. Найти:
1.
Вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты всем людям из очереди.
2.
Какую сумму d нужно иметь в кассе, чтобы с вероятностью p = 0,995 ее хватило всей очереди.
Решение. При n = 20 уже можно считать, что с.в. Y =
∑
=
20
1i
i
X достаточно близка к нормальной, с параметрами
∑
=
=⋅==
20
1
300020150)()(
i
i
XMYM ,
∑
=
=⋅=σ=
20
1
2
00072360020)(
i
i
YD .
Тогда:
1.
P{Y > d = 3500} = 1 – P{Y ≤ 3500} = 1 – Ф 032,0
72000
30003500
≈
−
;
2.
P{Y < d} ≥ 0,995 ⇒ Ф 995,0
72000
3000
≥
−d
, по таблицам находим,
что для этого должно быть
369258,2
72000
3000
≥⇒≥
−
d
d
.
2.9. Многомерные случайные величины
Обычно, тот или иной процесс, или случайным образом отобранный объект, характеризуется не одним, а сразу не-
сколькими своими параметрами (например, коммерческое предприятие и т.д.). Поэтому, оказывается необходимым следую-
щее понятие.
Определение 1.40. n-мерной с.в. X, называется вектор
=
n
X
X
X
X
M
2
1
,
все элементы которого являются случайными величинами.
Иногда многомерную с.в. называют случайным вектором. Основные факты для многомерных с.в. совершенно аналогичны
случаю одномерных с.в.
Определение 1.41. Математическим ожиданием n-мерной с.в. X называется вектор
()
(
)
()
()
=
n
XM
XM
XM
XM
M
2
1
.
Определение 1.42. Плотностью распределения
n
-мерной с.в. X называется функция
()
nX
tttP ...,,,
21
, определенная на
некотором подмножестве
n
R , такая, что

Страницы