Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

{} ( )
∫
=∈
Q
nX
dqtttPQxP ...,,,
21
,
для любого измеримого множества
n
RQ ∈ .
Как и всегда для функции нескольких аргументов, в общем случае, график плотности распределения многомерной с.в.,
к сожалению, невозможно изобразить на плоскости. Что, естественно, является дополнительной сложностью.
Теорема 2.5. Если элементы случайного вектора являются независимыми с.в., то для ее плотности распределения спра-
ведливо равенство
()
(
)
(
)
(
)
n
n
XXXnX
tPtPtPtttP ⋅⋅= ......,,,
2121
21
.
Для дискретной многомерной с.в. доказательство вполне очевидно. Для непрерывной оно строится на переходе от инте-
грала к пределу интегральной суммы и обратно.
Определение 1.43. Ковариационной матрицей n-мерной с.в. X называется матрица
()
()
(
)
(
)
()() ( )
()() ( )
=
nnnn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
XV
,cov,cov,cov
,cov,cov,cov
,cov,cov,cov
21
22212
12111
L
MOMM
L
L
,
т.е. матрица, составленная из коэффициентов ковариации между элементами данной с.в.
Можно отметить, что ковариационная матрица является квадратной и симметричной, а на ее главной диагонали стоят
дисперсии соответствующих компонент данного случайного вектора.
Ковариационная матрица многомерной с.в. фактически, играет роль дисперсии одномерной. Так, например, плотность,
распределения
n-мерной нормально распределенной с.в. X описывается функцией
()
()
()
()()()
[]
()()
2
1
2
1
XMtXVXMt
n
X
T
e
XV
tP
−−
−
−
π
=
,
где t – вектор-аргумент соответствующей размерности.
2.10. Функции от случайных величин
Можно задаться вопросом: если задано распределение с.в.
X
–
(
)
xP и некоторая функция
(
)
•g , то каким будет рас-
пределение с.в.
()
XgY = ?
Оказывается, в общем случае ответить на этот вопрос нельзя. Но существует несколько важных частных случаев. Рас-
смотрим два из них:
1. Пусть
(
)
•g – монотонная функция (монотонно возрастающая или монотонно убывающая), определенная на некото-
ром множестве
(
)
RgD ∈ , тогда, как известно, существует функция
()
•
−1
g
, обратная к ней, и определенная на множестве
значений функции
(
)
•g . Причем
()
•
−1
g также будет монотонной. Пусть для определенности
(
)
•g монотонно возрастаю-
щая. Тогда
() { } ( ){} ()
{
}
()
(
)
tgFtgxPtxgPtYPtF
XY
11
−−
=≤=≤=≤=
.
Аналогично, для монотонно убывающей
(
)
•g можно получить
() ()
(
)
tgFtF
XY
1
1
−
−= .
2. Пусть X
1
и X
2
независимые с.в. с заданными функциями плотности распределения P(x
1
) и P(x
2
). Рассмотрим распреде-
ление с.в.
21
XXY += .
Имеем
() { } ( ) ( )
...
212121
==≤+=
∫∫
X
A
Y
dxdxxPxPtXXPtF ,
где область интегрирования
X
A описывается неравенством txx
≤
+
21
, тогда
()() ()( )
()( )
.
...
111
1111221
1
∫∫
∫∫∫∫
∞−
∞
∞−
∞
∞−∞−
∞
∞−
−
∞−
−=
=
−=
=
t
t
xt
dtdxxtPxP
dxdtxtPxPdxdxxPxP
Последнее означает, что

Страницы