Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Основной задачей математической статистики является оценка и анализ параметров распределения изучаемой с.в., или
самого вида этого распределения (непараметрическое оценивание) по данным выборки ее значений. Часто отмечают, что
основная задача математической статистики
является, в некотором смысле, обратной к задачам теории вероятностей.
Основными целями оценивания являются:
1)
прогнозирование поведения изучаемой с.в. в будущем;
2)
проверка соответствия значений полученных оценок некоторым регламентированным характеристикам.
И то и другое часто может служить обоснованием выбора наиболее оптимального варианта управленческих решений.
Определение 3.3. Истинное значение того или иного параметра распределения изучаемой с.в. X называют его теорети-
ческим, или генеральным значением.
Определение 3.4. Статистической оценкой некоторого параметра γ распределения с.в. X называется функция, опреде-
ленная на множестве выборок значений этой с.в.
)...,,,(
ˆˆ
21 nn
xxx
γ
=
γ
,
значения которой, в некотором статистическом смысле, близки к теоретическому значению γ.
Определение 3.5. Конкретное значение статистической оценки на данной конкретной выборке называют выборочным
значением этой оценки, или точечным значением, или выборочной оценкой.
Важно четко понимать разницу между теоретическим значением параметра и его выборочными оценками.
Теоретическое значение того или иного параметра распределения с.в. в общем случае определяется только его плотно-
стью распределения, т.е. бесконечной информацией. Данные же выборки всегда конечны. Поэтому никогда нет возможности
найти точное теоретическое значение параметра.
Очень важно также, что выборочное значение параметра само является случайной величиной, поскольку рассчитывает-
ся по данным случайной выборки.
Иногда приходится говорить не о конкретной выборке, а вообще, абстрактно. Как, например, при выводе различных стати-
стических формул и доказательствах теорем. Тогда приходится использовать следующее понятие.
Определение 3.6. Теоретической выборкой объема n значений с.в. X будем называть совокупность независимых с.в.
n
XXX ,....,,
21
,
каждая из которых имеет то же распределение, что и X, т.е.
niXX
i
,1, == .
3.2. Свойства статистических оценок
Для оценок, которые предполагается использовать на практике, очевидно, очень желательны следующие свойства.
Определение 3.7. Оценка γ
ˆ
некоторого параметра γ называется несмещенной, если
(
)
γ
=
γ
ˆ
M
.
Несмещенность оценки означает, что она не дает какой-либо регулярной (постоянной) ошибки. Иногда на практике ис-
пользуют и смещенные оценки.
Определение 3.8. Оценка
n
γ
ˆ
называется состоятельной, если
{
}
1
ˆ
→
ε
≤
γ
−
γ
n
P ,
при n →∞, для любого ε > 0.
Таким образом, состоятельность оценки означает, что чем больше объем выборки, тем относительно точнее выборочная
оценка. Примеры несостоятельных оценок достаточно редки.
Справедлива теорема.
Теорема 3.1. Если
n
γ
ˆ
– несмещенная оценка параметра γ и
(
)
0
ˆ
→
γ
n
D ,
при n→∞, то
n
γ
ˆ
– состоятельна.
Доказательство этой теоремы легко вытекает из неравенства Чебышева.
Определение 3.9. Оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех других оценок
данного параметра.
3.3. Оценка математического ожидания с.в.
Из теории вероятностей известно, что среди всех параметров распределения с.в. важнейшую роль играют математиче-
ское ожидание и дисперсия. Напомним, что нормальное распределение полностью задается этими двумя параметрами. По-
этому и в математической статистике их оценки занимают центральное место.

Страницы