Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому, для решения основной задачи математической статистики зачастую бывает достаточно оценить именно эти
два параметра.
Пусть X – некоторая с.в. Как всегда, будем обозначать
(
)
aXM
=
,
()
2
σ=XD ,
где a, σ – неизвестны. Пусть имеется выборка значений этой с.в.
x
1
, x
2
, …, x
n
.
Вспоминая определение и смысл математического ожидания в качестве его оценки естественно предложить следую-
щую
n
x
Xa
n
i
i
∑
=
==
1
ˆ
.
Величину
X
называют выборочным средним, и действительно используют в качестве оценки математического ожида-
ния. Изучим ее свойства как статистической оценки.
Оказывается
()
...
1
1
=
=
∑
=
n
i
i
x
n
MXM ,
переходя к теоретической выборке, и используя свойства математического ожидания, имеем
a
n
a
XM
n
X
n
M
n
i
n
i
i
n
i
i
===
=
∑
∑
∑
=
=
= 1
1
1
)(
11
... .
Таким образом, выборочное среднее – несмещенная оценка дисперсии.
Рассмотрим состоятельность. Используя свойства дисперсии, имеем
()
0
)(
1
2
2
2
2
1
1
→
σ
=
σ
==
=
∑
∑
=
=
n
n
n
n
XD
X
n
DXD
n
i
i
n
i
i
, при n→∞.
Тогда по теореме 3.1,
X
– состоятельная оценка математического ожидания.
Рассмотрим эффективность. Все возможные линейные оценки математического ожидания имеют вид
()
∑
=
=
n
i
iin
xCCCa
1
1
,...,
ˆ
,
где C
i
– любые весовые коэффициента, т.е.
∑
=
=
n
i
i
C
1
1 .
Отметим, что все такие оценки и несмещены, и состоятельны.
Найдем, при каких значениях коэффициентов
i
C дисперсия соответствующей взвешенной суммы будет наименьшей,
т.е. имеем задачу
(
)
(
)
min...,,
ˆ
1
→
n
CCaD ,
при ограничении
∑
=
n
i
C 1.
Это задача на условный экстремум, которую мы решим методом множителей Лагранжа. Составляем функцию Лагран-
жа:
()
()
−λ+=
∑
n
in
CCCaDL 1...,,
ˆ
1
,
где
()
()
()
()
∑∑∑
σ===
222
1
...,,
ˆ
ii
n
iiin
CXDCxCDCCaD .
Тогда
∑∑
−λ+σ=
n
ii
CCL 1
22
.
Система необходимых условий минимума функции Лагранжа

Страницы