Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=
−−−−=
=
−−−=
∑∑∑
∑∑
===
==
n
i
n
i
n
j
jii
n
i
n
i
ii
aXaX
n
aX
n
M
aX
n
aX
n
M
111
2
2
1
2
1
2
)()(
1
)(
1
)(
1
)(
1
,...))((
1
)(
1
111
2
2
=
−−−−=
∑∑∑
===
n
i
n
i
n
j
jii
aXaX
n
aX
n
M
здесь при ji ≠ ,
[
]
0))((
=
−
−
aXaXM
ji
,
так как
i
X – независимые с.в.
∑∑
==
σ≠
−
σ=
σ
−σ=σ−σ=−−−=
n
i
i
n
i
i
n
n
n
n
n
n
n
aXM
n
aXM
n
1
22
2
22
2
2
1
2
2
111
)(
1
)(
1
...
.
Таким образом, рассматриваемая оценка является смещенной. Однако видим, что это легко исправить перейдя к оценке
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
XX
S
n
i
i
,
которую так и называют несмещенной или исправленной оценкой дисперсии.
Аналогично рассмотренному выше, не сложно доказать состоятельность как
2
~
S , так и
2
S .
Очевидно, дисперсия оценки
2
S больше, чем у
2
~
S , и поэтому
2
S не является эффективной. Тем не менее, свойство
несмещенности считается практически более значимым, и для оценки дисперсии обычно используется именно
2
S . Однако и
2
~
S находит практическое применение, в частности, величина S
~
называется стандартной ошибкой выборки.
3.5. Оценка доли признака
Для весьма широкого спектра задач важным является следующий параметр.
Определение 3.10. Генеральной долей признака называется величина
N
M
p =
,
где N – общее количество объектов, составляющих некоторую генеральную совокупность, M – количество объектов из этой
совокупности, обладающих некоторым соответствующим признаком.
Например, N – количество всех работников на предприятии, M – число женщин из них.
Во многих маркетинговых, социологических и прочих исследованиях требуется оценить генеральную долю признака.
Например, долю потенциальных покупателей, предпочитающих некоторый определенный товар. При этом невозможно про-
тестировать всю совокупность N, а следует сделать выводы только на основании некоторой выборки объема n.
Определение 3.11. Выборочной долей признака называется величина
n
m
w =
,
где n – общее количество протестированных объектов из соответствующей генеральной совокупности, m – количество объ-
ектов из
n
, обладающих интересующим нас признаком.
Следует ли считать, что w можно использовать, как оценку p?
Во-первых, вспомним, что выборки бывают повторные и бесповторные. При оценке доли признака, тип выборки имеет
большое значение. В случае повторной выборки, тестируемый объект возвращается в генеральную совокупность, и может
оказаться выбранным еще, и еще раз. Например, на бензозаправке решили выяснить, какова доля иномарок среди всех автомо-
билей. Ясно, что при этом за исследуемый день возможно неоднократное посещение одной и той же иномаркой данной бензо-
заправки. В случае бесповторной выборки тестируемый объект помечается и в дальнейшем не учитывается, т.е. исключается
из генеральной совокупности. Чаще имеют место именно такие ситуации.
Не сложно понять, что при бесконечном количестве объектов в генеральной совокупности разницы между повторной и беспо-
вторной выборками нет.
Рассмотрим сначала более простой случай повторной выборки.
Тогда каждый раз вероятность выбора объекта, обладающего признаком, по классическому определению вероятности,
составляет
N
M
p =
,

Страницы