ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
()
1223
)(
22
22
babababa
XD
−
=
+
−
++
=
.
2. Для нормально распределенной с.в. можно доказать, что
2
)( σ=XD .
Таким образом важнейшее для практики нормальное распределение (как и многие другие) полностью задается двумя своими
параметрами: математическим ожиданием и дисперсией. Тот факт, что с.в.
X
имеет нормальное распределение с парамет-
рами
aXM
=
)( ,
2
)( σ=XD ,
условно обозначается так
(
)
2
,~ σaNX .
Свойства дисперсии:
1. D (X) ≥ 0, где X – любая с.в.;
2.
D (c) = 0, где c – любая неслучайная константа;
3.
D (cX) = c
2
D (X);
4.
D (c + X) = D (X);
5.
Если X и Y – независимые с.в., то D (X +Y) = D (X) + D (Y).
2.6. Независимость с.в. и коэффициент корреляции
Определение 1.37. С.в. X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не меняется от того,
какие значения, в ходе соответствующих экспериментов, принимает вторая с.в.
Можно приводить множество примеров, как зависимых, так и независимых с.в. Курс доллара на торгах и счет в футбольном
матче – очевидно независимые с.в. Курс доллара и объем продаж валюты – зависимые с.в., и т.д.
Выявление действительного наличия зависимости между какими-то показателями, и измерение силы этой зависимости,
является важным инструментом самых разных исследований, в частности экономических. При этом используют следующие
понятия.
Определение 1.38. Коэффициентом ковариации между с.в. X и Y называют число
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
YMYXMXMYX
−
−
=
,cov .
Из свойств математического ожидания легко устанавливается, что для независимых с.в. ковариация равна нулю
(
)
0,cov
=
YX .
Отсюда можно понять, что чем сильнее зависимы с.в., тем больше величина коэффициента ковариации. Важнейшим его
недостатком как показателя силы зависимости с.в. является то, что его величина зависит и от абсолютных значений данных
с.в. От этого недостатка свободен следующий показатель.
Определение 1.39. Коэффициентом корреляции между с.в. X и Y называют число
(
)
()()
YDXD
YX
r
YX
,cov
,
= .
Как видим, коэффициент корреляции является нормированным показателем, т.е. он не зависит от абсолютных значений
с.в. При независимости с.в. он также равен нулю. При наличии строго детерминированной (максимальной по силе) линейной
зависимости, т.е. если
bXaY
+
=
,
можно доказать, что
()
()()
(
)
()( )
(
)
() ()
1
,cov,cov,cov
2
,
±===
+
+
==
a
a
XDaXD
XXa
bXaDXD
bXaX
YDXD
YX
r
YX
.
Таким образом, коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до 1. Важнейшим недостатком коэффициен-
та корреляции является то, что он выражает лишь силу линейной составляющей в той или иной зависимости между с.в. Так,
например, несложно доказать, что при наличии строго детерминированной квадратичной зависимости
2
X
Y
=
коэффициент корреляции окажется равным нулю. Тем не менее этот коэффициент является наиболее часто используемым на
практике показателем, как по причине простоты, так и потому, что обычно в реальных зависимостях линейная составляющая
весьма велика, или даже преобладает (рис. 2.7).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
