Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1.4. (Формула полной вероятности). Если A
1
… A
n
образуют полную группу событий, причем P(A
i
) > 0, i = n,1,
то для любого события B, связанного с тем же экспериментом, справедлива формула
()
∑
=
=
n
i
ii
APABPBP
1
)()/( ,
называемая формулой полной вероятности.
Доказательство. Из того, что
()
i
n
i
i
n
i
ABABBB ∩∪=
∪∩=Ω∩=
== 11
,
причем события
i
AB ∩ несовместны, по теореме сложения вероятностей получаем
()
∑
=
∩=
n
i
i
ABPBP
1
)( ,
и используя формулу условной вероятности, окончательно
()
∑
=
=
n
i
ii
APABPBP
1
)()/( .
Формула полной вероятности, в определенном смысле, подобна разложению вектора по базису. Из нее легко выводится
еще одна важная формула, называемая формулой Байеса
()
BP
ABPAP
BAP
kk
k
)/()(
)/( =
.
Пример 1.8. На предприятии изготавливают некоторые изделия на трех поточных линиях. На первой производят 20 %
всех изделий, на второй 30 %, на третьей – 50 %. Каждая линия характеризуется следующими процентами годности изделия:
95, 98, 97 %. Требуется определить вероятности того, что:
1.
Bзятое наугад изделие окажется бракованным.
2.
Бракованное изделие изготовлено на 1, 2, 3 линии.
Pешение. Обозначим A
1
, A
2
, A
3
– взятое наугад изделие изготовлено на 1, 2, 3 линиях. Согласно условию
P(A
1
) = 0,2; P(A
2
) = 0,3; P(A
3
) = 0,5.
Обозначим за B – взятое наугад изделие оказалось бракованным, согласно условию
P(B/A
1
) = 0,05; P(B/A
2
) = 0,02; P(B/A
3
) = 0,03.
Используя формулу полной вероятности находим
P(B) = P(B/A
1
) P(A
1
)+ P(B/A
2
) P(A
2
)+ P(B/A
3
) P(A
3
) =
= 0,2 ⋅ 0,05 + 0,3 ⋅ 0,02 + 0,5 ⋅ 0,03 = 0,031.
Отметим, что последняя величина фактически выражает общий уровень брака по предприятию.
Bероятность того, что взятое наугад бракованное изделие изготовлено на той или иной линии, находим по формуле
Байеса:
P(A
1
/B)=
31
10
031,0
05,002,0
)(
)/()(
11
=
⋅
=
ВР
АВРАР
; P(A
2
/B)=
31
6
031,0
006,0
)(
)/()(
22
==
ВР
АВРАР
;
P(A
3
/B)=
31
15
031,0
015,0
)(
)/()(
33
==
ВР
АВРАР
.
Задача решена.
1.8. Aксиомы теории вероятности. Вероятностное пространство
Пусть имеется некоторый стохастический эксперимент, и известно множество всех его элементарных исходов Ω. Пусть
в Ω выделена система подмножеств F, соответствующих условиям:
A
1
) Ω∈F;
A
2
) если A∈F, то FAА ∈Ω= \ ;
A
3
) если A
i
∈F, ∞= ,1i , то
FA
i
∈ .
Такая система подмножеств называется σ-алгеброй. Элементы F будем называть случайными событиями.
U
1
∞
=i

Страницы