Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
.
9
2
45
10
54
==+= ppAP
Определение 1.16. Говорят, что некоторое множество является счетным, или имеет счетную мощность, если оно со-
стоит из бесконечного количества элементов, каждому из которых теоретически может быть приписан порядковый номер.
Так, например, счетными являются множества всех целых чисел на числовой оси
1
R , или даже всех дробей (рациональ-
ных чисел).
Схема с неравновозможными исходами является обобщением классической схемы. Дальнейшим обобщением является
схема с бесконечным, но счетным количеством исходов. Теоретические построения при этом настолько аналогичны рас-
смотренным в этом пункте, что мы не будем специально на них останавливаться. Тем более, что практические ситуации,
соответствующие такой схеме, весьма редки. Стоит лишь отметить, что вероятности элементарных исходов должны убывать
до нуля, так, чтобы выполнялось необходимое условие
∑
∞
=
=
1
1
i
i
p .
1.5. Схема с несчетным множеством исходов.
Геометрическое определение вероятности
Определение 1.17. Говорят, что некоторое множество является несчетным, или имеет более чем счетную мощность, или
является континиумом, если невозможно каждому его элементу приписать порядковый номер.
Оказывается, что любой сколь угодно малый непрерывный промежуток числовой оси имеет более чем счетную мощ-
ность. Также как и любые непрерывные множества на плоскости или в пространстве.
Рассмотрим эксперимент – бросание наугад точки на отрезок
[]
1
, Rba ∈ . Ясно, что множество элементарных исходов в
нем является континиумом. А тем самым, этот эксперимент не может быть рассмотрен в рамках выше изложенных схем.
Можно привести много других таких же примеров: траектория движения материального тела в пространстве, прогноз темпе-
ратуры воздуха на завтра, и т.д. Строгое построение теории для этих случаев возможно лишь на основе следующего понятия.
Определение 1.18. Мерой Лебега множества
n
RG ∈ называется:
−
сумма длин составляющих его интервалов, если
1
RG ∈ ;
−
его площадь, если
2
RG ∈ ;
−
его объем, если 3, ≥∈ nRG
n
.
Определение 1.19. Множество
n
RG ∈ называется измеримым, если оно имеет меру Лебега.
Теорема 1.1.
Объединение и пересечение любого не более чем счетного количества количества измеримых множеств и
их дополнений является измеримым множеством.
Оказывается, что существуют неизмеримые множества, т.е. множества, для которых нельзя указать ни длины, ни площади,
ни объема.
Пример 1.6. (Неизмеримого множества). Разобьем все точки отрезка [0,1] на классы, отнеся х и у к одному классу, то-
гда и только тогда, когда (х – у) есть число рациональное, т.е. класс К(х) состоит из точек, принадлежащих отрезку от 0 до 1
и таких, что у = х + r, где r – любое рациональное число. Bыберем из каждого класса по одной точке, обозначим множество
выбранных точек через A. Можно доказать, что A не является измеримым множеством.
Уже из этого случая можно понять, что примеры неизмеримых множеств достаточно сложны и искусственны. Обычно все
множества измеримы.
Рассмотрим следующую схему проведения стохастического эксперимента, называемую схемой с несчетным множест-
вом исходов:
1)
опыт состоит в случайном бросании точки на некоторое измеримое множество
n
R
∈
Ω
, т.е. возможными элементар-
ными исходами являются все точки этого множества;
2)
вероятность попадания точки на некоторое измеримое подмножество
Ω
⊂
A
зависит только от меры этого подмно-
жества, и не зависит от его расположения на
Ω .
Последнее условие можно сформулировать и иначе: вероятности попадания точки на подмножества одинаковой меры
равны. Иногда, для простоты, используют и не совсем корректную формулировку – все точки
Ω
«одинаково возможны».
Очень важно отметить, что в «несчетной» схеме в качестве случайных событий можно рассматривать только попадание
точки на измеримые подмножества множества
Ω
. Характерным является еще то, что вероятность любого элементарного
исхода в этой схеме равна нулю.
Определение 1.20. (Геометрическое определение вероятности). Вероятностью случайного события
A
в схеме с более
чем счетным множеством исходов называется число
()
(
)
()
Ω
=
m
Am
AP
,

Страницы