Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

n
m
АР =)(
,
где n – число всех возможных исходов, m – число исходов благоприятствующих A.
Пользуясь введенным определением, теперь можно формально строго находить вероятности событий, если известно
количество благоприятствующих им исходов. А также вероятности событий являющихся результатом действий над другими
событиями, если известны множества всех благоприятствующих исходов событий-операндов.
Пример 1.3. Пусть, например, n = 6, A = {w
1
, w
2
, w
3
}, B = {w
3
, w
4
}. Тогда, по классическому определению вероятностей,
имеем
P(A) = 3/6 = 1/2; P(B) = 2/6 = 1/3.
Далее получаем, что:
C = A + B = {w
1
, w
2
, w
3
, w
4
} ⇒ P(C) = 4/6 = 2/3,
D = AB = {w
3
} ⇒ P(D) = 1/6,
Z = A – B = {w
1
, w
2
} ⇒ P(Z) = 1/3.
1.3. Использование комбинаторных формул
Комбинаторика – наука о перестановках. Ее возникновение так же связывают с азартными играми и относят к средне-
вековью. Многие ее понятия широко используются в теории вероятностей [3].
Определение 1.12. Числом перестановок из n называют количество всевозможных вариантов упорядочивания n
имеющихся объектов. Это число обозначается и равно
!nP
n
=
.
Определение 1.13. Числом размещений из n по k называют количество всевозможных вариантов выбора k объектов
из
n имеющихся, с учетом порядка их следования. Это число обозначается и равно
)!(
!
kn
n
A
k
n
−
=
.
Определение 1.14. Числом сочетаний без повторений из n по k называется количество возможных способов выбора k
объектов из n имеющихся (без учета порядка следования). Это число обозначается и равно
)!(!
!
knk
n
С
k
n
−
=
.
Пример 1.3.
1. Сколькими способами можно вытащить три карты из колоды?
7140
321
363534
)!336(!3
!36
3
36
=
⋅⋅
⋅⋅
=
−
=C .
2. Какова вероятность, что все три наудачу выбранные из колоды карты окажутся королями?
По классическому определению вероятности, получаем
7140
4
)(
3
36
3
4
==
С
С
АР .
Многие задачи на схему с равновозможными исходами являются частным случаем следующей. Пусть в закрытой урне
имеется N шаров, из которых М белые. Какова вероятность, что из n наудачу выбранных шаров ровно m окажется белыми.
Обозначим это событие через A, и построим формулу для его вероятности.
Вариантов выбора n из N шаров определяется числом
n
N
С . Количество способов выбора m белых шаров из М имеющих-
ся –
m
М
С . Далее ясно, что способов выбора из оставшихся N–M шаров равно n–m не белых, определяется числом
mn
MN
С
−
−
, то-
гда искомая вероятность, по классическому определению, выразится формулой
n
N
m
M
mn
MN
C
CС
АР
−
−
=)( .
Отметим, что не было никаких ограничений на величины N, M, n и m. В частности, они могут быть равны нулю, или –
друг другу. В этом и состоит причина большой универсальности данной формулы.
Пример 1.4.
1.
Для решения задачи предыдущего примера можно было бы использовать эту формулу, при
N = 36, n = 4, М = 3, m = 3.

Страницы