Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
(
)
1
2
−
σ=α XXV
T
.
Напомним, что на диагонали этой матрицы стоят дисперсии отдельных элементов вектора оценок, т.е. дисперсии оце-
нок отдельных коэффициентов. Заметим, что, по крайней мере, диагональные элементы матрицы
()
XX
T
с ростом n неогра-
ниченно возрастают, а это означает, что диагональные элементы обратной матрицы
(
)
1−
XX
T
будут стремиться к нулю при
∞→n . Отсюда следует состоятельность оценок МНК.
В известной теореме Гаусса–Маркова [26] устанавливается эффективность МНК оценок.
Для некоторых ниже рассматривающихся фактов необходимо иметь оценку ковариационной матрицы
(
)
α
V . Ясно, что
в качестве нее следует использовать
()
(
)
1
2
ˆ
−
=α XXSV
T
,
где
2
S – оценка неизвестной дисперсии
2
σ случайной составляющей
ε
. Оказывается, что несмещенной, состоятельной и
асимптотически эффективной оценкой
2
σ является
mn
ee
S
T
−
=
2
.
Справедлива теорема, аналогичная теореме 3.2.
Теорема 5.1.
() ()
mn
S
mn −χ
σ
−
2
2
2
~ .
5.6. Проверка статистической значимости отдельных
коэффициентов регрессии
Любая математическая модель должна выражать реальные связи между параметрами процесса. Это необходимо для то-
го, чтобы анализ процесса на основе этой модели был бы адекватен. В частности, модель должна учитывать факторы дейст-
вительно влияющие на результирующий показатель y, и не содержать факторов несущественно влияющих на процесс. Ясно,
что отбор таких действительно значимых факторов – важная и непростая задача. Оказывается, в регрессионном анализе
имеются инструменты, позволяющие решать эту задачу.
Предположим, что в число объясняющих факторов линейной модели включен параметр
i
x , который в действительно-
сти не влияет на
y , тогда теоретическое значение соответствующего коэффициента
i
a равно нулю. Но мы имеем лишь ста-
тистическую оценку
i
α этого коэффициента, которая, как и всегда, не равна в точности теоретическому значению, а значит
не равна нулю, и возникает возможность сделать ошибочный вывод о наличии влияния
i
x на y .
Таким образом, следовало бы проверить статистическую гипотезу
0:
0
=
i
aH .
Оказывается, это можно сделать. Действительно, мы знаем, что
(
)
()
1,0~,~
2
N
a
aN
i
i
ii
ii
α
α
σ
−
α
⇒σα ,
где
2
i
α
σ – соответствующий диагональный элемент матрицы
()
(
)
1
2
−
σ=α XXV
T
.
Из теоремы 5.1
() ()
mn
S
mn
i
i
−χ
σ
−
α
α
2
2
2
~
,
и несложно доказать, что
()
mnt
S
a
i
ii
−
−α
α
~ .
Из этого распределения, в частности, легко строятся доверительные интервалы для теоретических значений коэффици-
ентов регрессии.
Тогда двухсторонняя критическая область уровня значимости
γ
для рассматриваемой нулевой гипотезы
0
H имеет вид
()()
ii
S
ntmnt
S
Q
ii
α
γγ
α
α
<−−−<
α
1,:
22
.
Описанная методика проверки статистической значимости коэффициентов регрессии является важным инструментом в
регрессионном анализе. На ее основе строятся, так называемые, пошаговые процедуры отбора значимых переменных, кото-

Страницы