Теория вероятностей и математическая статистика. Солопахо А.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

≈ 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
Разнообразные интересные задачи решаются с помощью формулы
⋅
⋅εΦ⋅≈
ε≤−=γ
qp
n
p
n
m
P 2
,
которая следует из интегральной теоремы. В частности, она фактически позволяет решать задачи уже математической
статистики по оценке различных параметров, например вероятностей событий.
Пример 1.14. Было произведено 500 опытов, в которых 300 раз произошло интересующее нас событие. В каких пре-
делах с вероятностью 0,9 лежит истинная вероятность p этого события.
Решение. В соответствии с формулой имеем, что должно быть
9,0
500
2 ≥
⋅
⋅εΦ⋅
qp
,
тогда из таблиц значений интегральной функции Лапласа следует, что
645,1
500
≥
⋅
⋅ε
qp
.
В качестве центра искомого интервала, в котором лежит неизвестная истинная вероятность p , естественно принять
наблюдаемую частоту
6,0
5
3
500
300
===w .
Тогда должно быть
()()()
645,1
6,016,0
500
≥
ε−−⋅ε−
⋅ε
.
Решим соответствующее уравнение графически: 0365,0
=
ε
.
Таким образом, с вероятностью 0,9 истинная вероятность p лежит в пределах 0365,06,0
±
.
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Теория случайных величин (с. в.) является наиболее практически важным разделом теории вероятностей. В частности
потому, что в этом разделе вводятся многие важнейшие понятия, необходимые для математической статистики.
2.1. Определение случайной величины.
Задание дискретной случайной величины
Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 2.1] и др.
В природе дискретные с.в. встречаются относительно реже непрерывных, однако можно привести целый ряд важ-
ных примеров их использования.
Пример 2.1. В цеху имеются 8 токарных станков, использующихся с одинаковой интенсивностью. Вероятность, что в
данный момент используется тот или другой станок одинакова и равна 0,4. Построить ряд распределения случайной величины
числа использующихся в данный момент станков.
Решение. Будем считать, что станки используются независимо друг от друга. Тогда ситуация соответствует схеме
Бернулли, и вероятность того или иного числа использующихся станков можно найти по формуле Бернулли. Получим
следующий ряд распределения.
i
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i
p
0,016796
0,08958
0,209019
0,278692
0,232243
0,123863
0,041288
0,007864
0,000655
Распределение случайной величины k числа успехов в схеме Бернулли называется биномиальным. Оно нередко
встречается в различных задачах.
Часто целесообразнее говорить об относительной частоте числа успехов
n
k
.
Такая с. в. называется дробно-биномиальной.

Страницы