Теория вероятностей и математическая статистика. Солопахо А.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Отметим, что последняя величина фактически выражает общий уровень брака по предприятию.
Вероятность того, что взятое бракованное изделие изготовлено на той или иной линии, находим по формуле Байеса:
P(A
1
/B)=
31
10
031,0
05,002,0
)(
)/()(
11
=
⋅
=
ВР
АВРАР
;
P(A
2
/B)=
31
6
031,0
006,0
)(
)/()(
22
==
ВР
АВРАР
;
P(A
3
/B)=
31
15
031,0
015,0
)(
)/()(
33
==
ВР
АВРАР
.
1.8. Последовательности испытаний. Схема Бернулли
Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 1.9] и др.
Данная схема проведения вероятностного эксперимента, являясь частным случаем схемы с неравновозможными ис-
ходами, очень важна для исследований всевозможных массовых явлений, состоящих из серии одинаковых независимых
опытов. Примеры таких явлений в изобилии можно найти в сферах экономики, социологии и т.п. Начнем с наиболее про-
стых примеров.
Пример 1.11. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух
раз.
Решение. Ясно, что данный эксперимент можно считать соответствующим схеме Бернулли при 6=n . Тогда
а)
()
=
⋅+
⋅=+=
51
1
6
60
0
666
2
1
2
1
2
1
2
1
)1()0( ССPPAP
()
64
7
2
1
61
6
=
⋅+= ;
б)
()
64
57
64
7
1)(1 =−=−= APAP
.
Пример 1.12. Перерасход кассовых средств в каждый отдельный день возможен с одной и той же вероятностью p .
Какова должна быть эта вероятность, чтобы с вероятностью не менее 0,9 перерасход происходил не более чем один раз в
пять рабочих дней?
Решение. Аналогично предыдущей задачи, вероятность не более чем одного перерасхода за пять дней
()
(
)
(
)
=−⋅⋅+−⋅⋅=+=
4
1
5
5
00
555
11)1()0( ppСppСPPAP
()
(
)
.1,0161
4
<−⋅⋅+−= ppp
Решаем уравнение
(
)
1,056
4
=⋅⋅− qq
графически, получаем
6027,013973,0
=
−
=
⇒≈ qpq .
Таким образом, вероятность перерасхода в день не должна превышать 6027,0
=
p .
1.9. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 1.10] и др.
При большом количестве опытов n , что весьма естественно для рассматриваемых массовых процессов, непосредст-
венное использование формулы Бернулли становится практически невозможным. Поэтому широко используются упро-
щенные приближенные соотношения.
Пример 1.13. Вероятность того, что покупатель, зашедший в магазин, совершит покупку, равна 0,2. Найти вероят-
ность того, что из 400 покупателей покупку осуществят от 70 до 100.
Решение. По условию n = 400, m
1
= 70, m
2
= 100, q = 0,8, p = 0,2.
Условие применимости интегральной формулы Муавра-Лапласа
npq > 15 – 20
существенно перевыполняется. Тогда
х
1
=
25,1
8,02,0400
2,040070
−=
⋅⋅
⋅
−
, х
2
= 2,5.
Используя таблицы, получаем
P
400
(70, 100) ≈ Ф(2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25) ≈

Страницы