Теория вероятностей и математическая статистика. Солопахо А.В. - 13 стр.

UptoLike

Составители: 

В завершение строим график функции распределения (рис. 2.3).
Пример 2.4. Известно, что
()
4,3~ NX , т.е. с. в.
X
имеет нормальное распределение с параметрами
() ()
4,3 == XDXM
. Найти
[
]
{
}
.5,2;5,0xP
Решение. Нормальное распределение является наиболее практически важным распределением. Поэтому необходимо
уметь работать с ним.
В соответствии с определением нормальной плотности имеем
[]
{}
()
...
22
1
5,2;5,0
5,2
5,0
42
3
2
=
π
=
dxexP
x
,
но этот интеграл не выражается аналитически. Однако, сделав замену
2
3
=
σ
=
xax
z
,
получаем
()
...
4
7
4
1
2
1
...
2
35,2
2
35,0
2
=
Φ=
π
=
tdze
z
,
где
()
π
=Φ
t
z
dzet
0
2
2
1
так называемая интегральная функция Лапласа, таблицы значений которой приводятся во мно-
гих справочниках и учебниках. При их использовании следует помнить о нечетности этой функции.
В данном случае получаем
0,3612345994,009871,0
4
7
4
1
4
7
4
1
... =+
Φ+
Φ=
Φ
Φ=
.
2.4. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Почти вся математическая статистика занимается оценкой и анализом всего двух параметров: математического ожи-
дания и дисперсии. Из этого очевидна важность данных понятий.
Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 2.4 – 2.5] и др.
Пример 2.5. Найти математическое ожидание и дисперсию биномиально распределенной с. в.
X
.
Решение. Проще это сделать следующим образом. Представим
X
как сумму
n
ZZZX
+
+
+
=
...
21
одинаковых независимых с. в.
i
Z , каждая из которых принимает значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью
()
pq = 1 . Тогда очевидно,
(
)
pppZM
i
=
+
=
)1(01
и
(
)
qpppZD
i
==
2
.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии, без труда получаем:
(
)( )
(
)
(
)
(
)
pnZMZMZMZZZMXM
nn
=
+
+
+
=
+
+
+= ......
2121
;
() ( ) () ( )
(
)
qpnZDZMZDZZZDXD
nn
=
+
+
+
=
+++= ......
2121
.
Пример 2.6. Найти математическое ожидание и дисперсию с. в. из примера 2.3.
Решение. Вспоминая содержательный смысл параметра «математическое ожидание», делаем очевидный (из вида со-
ответствующей плотности распределения) вывод, что в данном случае оно равно нулю. Поэтому рассчитаем только дис-
персию. Сначала находим
()
=+++==
1
0
2
0
1
222
)1()1()( dxxxdxxxdxxPxXM
3
2
12
1
12
7
3434
0
1
34
1
0
34
=+=
++
+=
xxxx
.